Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha1 Unicode version

Theorem marypha1 7914
 Description: (Philip) Hall's marriage theorem, sufficiency: a finite relation contains an injection if there is no subset of its domain which would be forced to violate the pigeonhole principle. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha1.a
marypha1.b
marypha1.c
marypha1.d
Assertion
Ref Expression
marypha1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem marypha1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4021 . . . . 5
2 marypha1.d . . . . 5
31, 2sylan2 474 . . . 4
43ralrimiva 2871 . . 3
5 marypha1.c . . . . 5
6 marypha1.a . . . . . . 7
7 marypha1.b . . . . . . 7
8 xpexg 6602 . . . . . . 7
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . . 6
10 elpw2g 4615 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
125, 11mpbird 232 . . . 4
13 xpeq2 5019 . . . . . . . . 9
1413pweqd 4017 . . . . . . . 8
1514raleqdv 3060 . . . . . . 7
1615imbi2d 316 . . . . . 6
17 marypha1lem 7913 . . . . . . 7
1817com12 31 . . . . . 6
1916, 18vtoclga 3173 . . . . 5
207, 6, 19sylc 60 . . . 4
21 imaeq1 5337 . . . . . . . 8
2221breq2d 4464 . . . . . . 7
2322ralbidv 2896 . . . . . 6
24 pweq 4015 . . . . . . 7
2524rexeqdv 3061 . . . . . 6
2623, 25imbi12d 320 . . . . 5
2726rspcva 3208 . . . 4
2812, 20, 27syl2anc 661 . . 3
294, 28mpd 15 . 2
30 elpwi 4021 . . . . . . 7
3130, 5sylan9ssr 3517 . . . . . 6
32 rnss 5236 . . . . . 6
3331, 32syl 16 . . . . 5
34 rnxpss 5444 . . . . 5
3533, 34syl6ss 3515 . . . 4
36 f1ssr 5792 . . . . 5
3736expcom 435 . . . 4
3835, 37syl 16 . . 3
3938reximdva 2932 . 2
4029, 39mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  rancrn 5005  "cima 5007  -1-1->wf1 5590   cdom 7534   cfn 7536 This theorem is referenced by:  marypha2  7919 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
 Copyright terms: Public domain W3C validator