MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfeqalem Unicode version

Theorem mbfeqalem 20820
Description: Lemma for mbfeqa 20821. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1
mbfeqa.2
mbfeqa.3
mbfeqalem.4
mbfeqalem.5
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem mbfeqalem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 3734 . . . . 5
2 incom 3520 . . . . . . . 8
3 dfin4 3567 . . . . . . . 8
42, 3eqtri 2442 . . . . . . 7
5 id 21 . . . . . . . 8
6 symdif2 3593 . . . . . . . . . . . 12
7 eldif 3315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9 eldifi 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
109adantl 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
129, 11sylan2 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
13 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1413fvmpt2 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1510, 12, 14syl2anc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
16 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
179, 16sylan2 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
18 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1918fvmpt2 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2010, 17, 19syl2anc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
218, 15, 203eqtr4d 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2221ralrimiva 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
23 nfv 1664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
24 nffvmpt1 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
25 nffvmpt1 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2624, 25nfeq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
27 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2927, 28eqeq12d 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3023, 26, 29cbvral 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3122, 30sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3231r19.21bi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3332eleq1d 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
347, 33sylan2br 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3534anass1rs 790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3635pm5.32da 626 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3711, 13fmptd 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38 ffn 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4039adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
41 elpreima 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4316, 18fmptd 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44 ffn 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
47 elpreima 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4936, 42, 483bitr4d 279 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049ex 427 . . . . . . . . . . . . . 14
5150con1d 119 . . . . . . . . . . . . 13
5251abssdv 3403 . . . . . . . . . . . 12
536, 52syl5eqss 3377 . . . . . . . . . . 11
5453unssad 3510 . . . . . . . . . 10
55 mbfeqa.1 . . . . . . . . . 10
5654, 55sstrd 3343 . . . . . . . . 9
57 mbfeqa.2 . . . . . . . . . 10
58 ovolssnul 20670 . . . . . . . . . 10
5954, 55, 57, 58syl3anc 1203 . . . . . . . . 9
60 nulmbl 20717 . . . . . . . . 9
6156, 59, 60syl2anc 646 . . . . . . . 8
62 difmbl 20724 . . . . . . . 8
635, 61, 62syl2anr 468 . . . . . . 7
644, 63syl5eqel 2506 . . . . . 6
6553unssbd 3511 . . . . . . . . 9
6665, 55sstrd 3343 . . . . . . . 8
67 ovolssnul 20670 . . . . . . . . 9
6865, 55, 57, 67syl3anc 1203 . . . . . . . 8
69 nulmbl 20717 . . . . . . . 8
7066, 68, 69syl2anc 646 . . . . . . 7
7170adantr 455 . . . . . 6
72 unmbl 20719 . . . . . 6
7364, 71, 72syl2anc 646 . . . . 5
741, 73syl5eqelr 2507 . . . 4
75 inundif 3734 . . . . 5
76 incom 3520 . . . . . . . 8
77 dfin4 3567 . . . . . . . 8
7876, 77eqtri 2442 . . . . . . 7
79 id 21 . . . . . . . 8
80 difmbl 20724 . . . . . . . 8
8179, 70, 80syl2anr 468 . . . . . . 7
8278, 81syl5eqel 2506 . . . . . 6
8361adantr 455 . . . . . 6
84 unmbl 20719 . . . . . 6
8582, 83, 84syl2anc 646 . . . . 5
8675, 85syl5eqelr 2507 . . . 4
8774, 86impbida 813 . . 3
8887ralbidv 2714 . 2
89 ismbf 20808 . . 3
9037, 89syl 16 . 2
91 ismbf 20808 . . 3
9243, 91syl 16 . 2
9388, 90, 923bitr4d 279 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  {cab 2408  A.wral 2694  \cdif 3302  u.cun 3303  i^icin 3304  C_wss 3305  e.cmpt 4325  `'ccnv 4810  domcdm 4811  rancrn 4812  "cima 4814  Fnwfn 5385  -->wf 5386  `cfv 5390   cr 9227  0cc0 9228   cioo 11245   covol 20646   cvol 20647   cmbf 20794
This theorem is referenced by:  mbfeqa  20821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xadd 11035  df-ioo 11249  df-ico 11251  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-clim 12907  df-sum 13105  df-xmet 17520  df-met 17521  df-ovol 20648  df-vol 20649  df-mbf 20799
  Copyright terms: Public domain W3C validator