MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfeqalem Unicode version

Theorem mbfeqalem 21520
Description: Lemma for mbfeqa 21521. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1
mbfeqa.2
mbfeqa.3
mbfeqalem.4
mbfeqalem.5
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem mbfeqalem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 3871 . . . . 5
2 incom 3657 . . . . . . . 8
3 dfin4 3704 . . . . . . . 8
42, 3eqtri 2483 . . . . . . 7
5 id 22 . . . . . . . 8
6 symdif2 3730 . . . . . . . . . . . 12
7 eldif 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9 eldifi 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
129, 11sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
13 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1413fvmpt2 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1510, 12, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
16 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
179, 16sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
18 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1918fvmpt2 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2010, 17, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
218, 15, 203eqtr4d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2221ralrimiva 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
23 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
24 nffvmpt1 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
25 nffvmpt1 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2624, 25nfeq 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
27 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2927, 28eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3023, 26, 29cbvral 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3122, 30sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3231r19.21bi 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3332eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
347, 33sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3534anass1rs 805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3635pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3711, 13fmptd 5990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38 ffn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
41 elpreima 5946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4316, 18fmptd 5990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44 ffn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
47 elpreima 5946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4936, 42, 483bitr4d 285 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
5150con1d 124 . . . . . . . . . . . . 13
5251abssdv 3540 . . . . . . . . . . . 12
536, 52syl5eqss 3514 . . . . . . . . . . 11
5453unssad 3647 . . . . . . . . . 10
55 mbfeqa.1 . . . . . . . . . 10
5654, 55sstrd 3480 . . . . . . . . 9
57 mbfeqa.2 . . . . . . . . . 10
58 ovolssnul 21369 . . . . . . . . . 10
5954, 55, 57, 58syl3anc 1219 . . . . . . . . 9
60 nulmbl 21417 . . . . . . . . 9
6156, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . 8
62 difmbl 21424 . . . . . . . 8
635, 61, 62syl2anr 478 . . . . . . 7
644, 63syl5eqel 2546 . . . . . 6
6553unssbd 3648 . . . . . . . . 9
6665, 55sstrd 3480 . . . . . . . 8
67 ovolssnul 21369 . . . . . . . . 9
6865, 55, 57, 67syl3anc 1219 . . . . . . . 8
69 nulmbl 21417 . . . . . . . 8
7066, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . 7
7170adantr 465 . . . . . 6
72 unmbl 21419 . . . . . 6
7364, 71, 72syl2anc 661 . . . . 5
741, 73syl5eqelr 2547 . . . 4
75 inundif 3871 . . . . 5
76 incom 3657 . . . . . . . 8
77 dfin4 3704 . . . . . . . 8
7876, 77eqtri 2483 . . . . . . 7
79 id 22 . . . . . . . 8
80 difmbl 21424 . . . . . . . 8
8179, 70, 80syl2anr 478 . . . . . . 7
8278, 81syl5eqel 2546 . . . . . 6
8361adantr 465 . . . . . 6
84 unmbl 21419 . . . . . 6
8582, 83, 84syl2anc 661 . . . . 5
8675, 85syl5eqelr 2547 . . . 4
8774, 86impbida 828 . . 3
8887ralbidv 2847 . 2
89 ismbf 21508 . . 3
9037, 89syl 16 . 2
91 ismbf 21508 . . 3
9243, 91syl 16 . 2
9388, 90, 923bitr4d 285 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  {cab 2439  A.wral 2800  \cdif 3439  u.cun 3440  i^icin 3441  C_wss 3442  e.cmpt 4467  `'ccnv 4956  domcdm 4957  rancrn 4958  "cima 4960  Fnwfn 5532  -->wf 5533  `cfv 5537   cr 9418  0cc0 9419   cioo 11439   covol 21345   cvol 21346   cmbf 21494
This theorem is referenced by:  mbfeqa  21521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xadd 11229  df-ioo 11443  df-ico 11445  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-fl 11787  df-seq 11964  df-exp 12023  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-clim 13124  df-sum 13322  df-xmet 18003  df-met 18004  df-ovol 21347  df-vol 21348  df-mbf 21499
  Copyright terms: Public domain W3C validator