MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmul Unicode version

Theorem mbfmul 20904
Description: The product of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1
mbfmul.2
Assertion
Ref Expression
mbfmul

Proof of Theorem mbfmul
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . . . 5
2 mbff 20805 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 ffn 5529 . . . 4
53, 4syl 16 . . 3
6 mbfmul.2 . . . . 5
7 mbff 20805 . . . . 5
86, 7syl 16 . . . 4
9 ffn 5529 . . . 4
108, 9syl 16 . . 3
11 mbfdm 20806 . . . 4
121, 11syl 16 . . 3
13 mbfdm 20806 . . . 4
146, 13syl 16 . . 3
15 eqid 2422 . . 3
16 eqidd 2423 . . 3
17 eqidd 2423 . . 3
185, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6297 . 2
19 elin 3516 . . . . . . . . 9
2019simplbi 450 . . . . . . . 8
21 ffvelrn 5811 . . . . . . . 8
223, 20, 21syl2an 467 . . . . . . 7
2319simprbi 454 . . . . . . . 8
24 ffvelrn 5811 . . . . . . . 8
258, 23, 24syl2an 467 . . . . . . 7
2622, 25remuld 12648 . . . . . 6
2726mpteq2dva 4353 . . . . 5
28 inmbl 20723 . . . . . . 7
2912, 14, 28syl2anc 646 . . . . . 6
30 ovex 6086 . . . . . . 7
3130a1i 11 . . . . . 6
32 ovex 6086 . . . . . . 7
3332a1i 11 . . . . . 6
3422recld 12624 . . . . . . 7
3525recld 12624 . . . . . . 7
36 eqidd 2423 . . . . . . 7
37 eqidd 2423 . . . . . . 7
3829, 34, 35, 36, 37offval2 6306 . . . . . 6
3922imcld 12625 . . . . . . 7
4025imcld 12625 . . . . . . 7
41 eqidd 2423 . . . . . . 7
42 eqidd 2423 . . . . . . 7
4329, 39, 40, 41, 42offval2 6306 . . . . . 6
4429, 31, 33, 38, 43offval2 6306 . . . . 5
4527, 44eqtr4d 2457 . . . 4
46 inss1 3547 . . . . . . . . . 10
47 resmpt 5128 . . . . . . . . . 10
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9
493feqmptd 5714 . . . . . . . . . . 11
5049, 1eqeltrrd 2497 . . . . . . . . . 10
51 mbfres 20822 . . . . . . . . . 10
5250, 29, 51syl2anc 646 . . . . . . . . 9
5348, 52syl5eqelr 2507 . . . . . . . 8
5422ismbfcn2 20817 . . . . . . . 8
5553, 54mpbid 204 . . . . . . 7
5655simpld 449 . . . . . 6
57 inss2 3548 . . . . . . . . . 10
58 resmpt 5128 . . . . . . . . . 10
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9
608feqmptd 5714 . . . . . . . . . . 11
6160, 6eqeltrrd 2497 . . . . . . . . . 10
62 mbfres 20822 . . . . . . . . . 10
6361, 29, 62syl2anc 646 . . . . . . . . 9
6459, 63syl5eqelr 2507 . . . . . . . 8
6525ismbfcn2 20817 . . . . . . . 8
6664, 65mpbid 204 . . . . . . 7
6766simpld 449 . . . . . 6
68 eqid 2422 . . . . . . 7
6934, 68fmptd 5837 . . . . . 6
70 eqid 2422 . . . . . . 7
7135, 70fmptd 5837 . . . . . 6
7256, 67, 69, 71mbfmullem 20903 . . . . 5
7355simprd 453 . . . . . 6
7466simprd 453 . . . . . 6
75 eqid 2422 . . . . . . 7
7639, 75fmptd 5837 . . . . . 6
77 eqid 2422 . . . . . . 7
7840, 77fmptd 5837 . . . . . 6
7973, 74, 76, 78mbfmullem 20903 . . . . 5
8072, 79mbfsub 20840 . . . 4
8145, 80eqeltrd 2496 . . 3
8222, 25immuld 12649 . . . . . 6
8382mpteq2dva 4353 . . . . 5
84 ovex 6086 . . . . . . 7
8584a1i 11 . . . . . 6
86 ovex 6086 . . . . . . 7
8786a1i 11 . . . . . 6
8829, 34, 40, 36, 42offval2 6306 . . . . . 6
8929, 39, 35, 41, 37offval2 6306 . . . . . 6
9029, 85, 87, 88, 89offval2 6306 . . . . 5
9183, 90eqtr4d 2457 . . . 4
9256, 74, 69, 78mbfmullem 20903 . . . . 5
9373, 67, 76, 71mbfmullem 20903 . . . . 5
9492, 93mbfadd 20839 . . . 4
9591, 94eqeltrd 2496 . . 3
9622, 25mulcld 9352 . . . 4
9796ismbfcn2 20817 . . 3
9881, 95, 97mpbir2and 898 . 2
9918, 98eqeltrd 2496 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749   cvv 2951  i^icin 3304  C_wss 3305  e.cmpt 4325  domcdm 4811  |`cres 4813  Fnwfn 5385  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061  oFcof 6288   cc 9226   cr 9227   caddc 9231   cmul 9233   cmin 9541   cre 12527   cim 12528   cvol 20647   cmbf 20794
This theorem is referenced by:  bddmulibl  21016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cc 8551  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-disj 4238  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-ofr 6291  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-omul 6886  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-acn 8059  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-ioo 11249  df-ioc 11250  df-ico 11251  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-limsup 12890  df-clim 12907  df-rlim 12908  df-sum 13105  df-rest 14301  df-topgen 14322  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-cmp 18694  df-ovol 20648  df-vol 20649  df-mbf 20799  df-itg1 20800  df-0p 20848
  Copyright terms: Public domain W3C validator