MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmul Unicode version

Theorem mbfmul 21604
Description: The product of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1
mbfmul.2
Assertion
Ref Expression
mbfmul

Proof of Theorem mbfmul
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . . . 5
2 mbff 21505 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 ffn 5679 . . . 4
53, 4syl 16 . . 3
6 mbfmul.2 . . . . 5
7 mbff 21505 . . . . 5
86, 7syl 16 . . . 4
9 ffn 5679 . . . 4
108, 9syl 16 . . 3
11 mbfdm 21506 . . . 4
121, 11syl 16 . . 3
13 mbfdm 21506 . . . 4
146, 13syl 16 . . 3
15 eqid 2454 . . 3
16 eqidd 2455 . . 3
17 eqidd 2455 . . 3
185, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6460 . 2
19 elin 3653 . . . . . . . . 9
2019simplbi 460 . . . . . . . 8
21 ffvelrn 5964 . . . . . . . 8
223, 20, 21syl2an 477 . . . . . . 7
2319simprbi 464 . . . . . . . 8
24 ffvelrn 5964 . . . . . . . 8
258, 23, 24syl2an 477 . . . . . . 7
2622, 25remuld 12865 . . . . . 6
2726mpteq2dva 4495 . . . . 5
28 inmbl 21423 . . . . . . 7
2912, 14, 28syl2anc 661 . . . . . 6
30 ovex 6247 . . . . . . 7
3130a1i 11 . . . . . 6
32 ovex 6247 . . . . . . 7
3332a1i 11 . . . . . 6
3422recld 12841 . . . . . . 7
3525recld 12841 . . . . . . 7
36 eqidd 2455 . . . . . . 7
37 eqidd 2455 . . . . . . 7
3829, 34, 35, 36, 37offval2 6469 . . . . . 6
3922imcld 12842 . . . . . . 7
4025imcld 12842 . . . . . . 7
41 eqidd 2455 . . . . . . 7
42 eqidd 2455 . . . . . . 7
4329, 39, 40, 41, 42offval2 6469 . . . . . 6
4429, 31, 33, 38, 43offval2 6469 . . . . 5
4527, 44eqtr4d 2498 . . . 4
46 inss1 3684 . . . . . . . . . 10
47 resmpt 5274 . . . . . . . . . 10
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9
493feqmptd 5867 . . . . . . . . . . 11
5049, 1eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . 10
51 mbfres 21522 . . . . . . . . . 10
5250, 29, 51syl2anc 661 . . . . . . . . 9
5348, 52syl5eqelr 2547 . . . . . . . 8
5422ismbfcn2 21517 . . . . . . . 8
5553, 54mpbid 210 . . . . . . 7
5655simpld 459 . . . . . 6
57 inss2 3685 . . . . . . . . . 10
58 resmpt 5274 . . . . . . . . . 10
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9
608feqmptd 5867 . . . . . . . . . . 11
6160, 6eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . 10
62 mbfres 21522 . . . . . . . . . 10
6361, 29, 62syl2anc 661 . . . . . . . . 9
6459, 63syl5eqelr 2547 . . . . . . . 8
6525ismbfcn2 21517 . . . . . . . 8
6664, 65mpbid 210 . . . . . . 7
6766simpld 459 . . . . . 6
68 eqid 2454 . . . . . . 7
6934, 68fmptd 5990 . . . . . 6
70 eqid 2454 . . . . . . 7
7135, 70fmptd 5990 . . . . . 6
7256, 67, 69, 71mbfmullem 21603 . . . . 5
7355simprd 463 . . . . . 6
7466simprd 463 . . . . . 6
75 eqid 2454 . . . . . . 7
7639, 75fmptd 5990 . . . . . 6
77 eqid 2454 . . . . . . 7
7840, 77fmptd 5990 . . . . . 6
7973, 74, 76, 78mbfmullem 21603 . . . . 5
8072, 79mbfsub 21540 . . . 4
8145, 80eqeltrd 2542 . . 3
8222, 25immuld 12866 . . . . . 6
8382mpteq2dva 4495 . . . . 5
84 ovex 6247 . . . . . . 7
8584a1i 11 . . . . . 6
86 ovex 6247 . . . . . . 7
8786a1i 11 . . . . . 6
8829, 34, 40, 36, 42offval2 6469 . . . . . 6
8929, 39, 35, 41, 37offval2 6469 . . . . . 6
9029, 85, 87, 88, 89offval2 6469 . . . . 5
9183, 90eqtr4d 2498 . . . 4
9256, 74, 69, 78mbfmullem 21603 . . . . 5
9373, 67, 76, 71mbfmullem 21603 . . . . 5
9492, 93mbfadd 21539 . . . 4
9591, 94eqeltrd 2542 . . 3
9622, 25mulcld 9543 . . . 4
9796ismbfcn2 21517 . . 3
9881, 95, 97mpbir2and 913 . 2
9918, 98eqeltrd 2542 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758   cvv 3081  i^icin 3441  C_wss 3442  e.cmpt 4467  domcdm 4957  |`cres 4959  Fnwfn 5532  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222  oFcof 6451   cc 9417   cr 9418   caddc 9422   cmul 9424   cmin 9732   cre 12744   cim 12745   cvol 21346   cmbf 21494
This theorem is referenced by:  bddmulibl  21716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cc 8741  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-disj 4380  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-ofr 6454  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-omul 7059  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fi 7797  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-acn 8249  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-ioo 11443  df-ioc 11444  df-ico 11445  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-fl 11787  df-seq 11964  df-exp 12023  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-limsup 13107  df-clim 13124  df-rlim 13125  df-sum 13322  df-rest 14520  df-topgen 14541  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-cmp 19389  df-ovol 21347  df-vol 21348  df-mbf 21499  df-itg1 21500  df-0p 21548
  Copyright terms: Public domain W3C validator