Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsup Unicode version

Theorem mbfsup 20842
 Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems, B( , ) is a function of both and , since it is an -indexed sequence of functions on . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1
mbfsup.2
mbfsup.3
mbfsup.4
mbfsup.5
mbfsup.6
Assertion
Ref Expression
mbfsup
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem mbfsup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8
21anassrs 633 . . . . . . 7
32an32s 787 . . . . . 6
4 eqid 2422 . . . . . 6
53, 4fmptd 5837 . . . . 5
6 frn 5535 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
8 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10
9 uzid 10820 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9
11 mbfsup.1 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6eleqr 2513 . . . . . . . 8
1312adantr 455 . . . . . . 7
14 fdm 5533 . . . . . . . 8
155, 14syl 16 . . . . . . 7
1613, 15eleqtrrd 2499 . . . . . 6
17 ne0i 3620 . . . . . 6
1816, 17syl 16 . . . . 5
19 dm0rn0 5027 . . . . . 6
2019necon3bii 2619 . . . . 5
2118, 20sylib 190 . . . 4
22 mbfsup.6 . . . . 5
23 ffn 5529 . . . . . . . . 9
245, 23syl 16 . . . . . . . 8
25 breq1 4270 . . . . . . . . 9
2625ralrn 5816 . . . . . . . 8
2724, 26syl 16 . . . . . . 7
28 nffvmpt1 5669 . . . . . . . . . 10
29 nfcv 2558 . . . . . . . . . 10
30 nfcv 2558 . . . . . . . . . 10
3128, 29, 30nfbr 4311 . . . . . . . . 9
32 nfv 1664 . . . . . . . . 9
33 fveq2 5661 . . . . . . . . . 10
3433breq1d 4277 . . . . . . . . 9
3531, 32, 34cbvral 2922 . . . . . . . 8
36 simpr 451 . . . . . . . . . . 11
374fvmpt2 5751 . . . . . . . . . . 11
3836, 3, 37syl2anc 646 . . . . . . . . . 10
3938breq1d 4277 . . . . . . . . 9
4039ralbidva 2710 . . . . . . . 8
4135, 40syl5bb 251 . . . . . . 7
4227, 41bitrd 247 . . . . . 6
4342rexbidv 2715 . . . . 5
4422, 43mpbird 226 . . . 4
45 suprcl 10236 . . . 4
467, 21, 44, 45syl3anc 1203 . . 3
47 mbfsup.2 . . 3
4846, 47fmptd 5837 . 2
49 simpr 451 . . . . . . . . . . . . 13
50 ltso 9401 . . . . . . . . . . . . . 14
5150supex 7660 . . . . . . . . . . . . 13
5247fvmpt2 5751 . . . . . . . . . . . . 13
5349, 51, 52sylancl 647 . . . . . . . . . . . 12
5453breq2d 4279 . . . . . . . . . . 11
557, 21, 443jca 1153 . . . . . . . . . . . . 13
5655adantlr 699 . . . . . . . . . . . 12
57 simplr 739 . . . . . . . . . . . 12
58 suprlub 10238 . . . . . . . . . . . 12
5956, 57, 58syl2anc 646 . . . . . . . . . . 11
6024adantlr 699 . . . . . . . . . . . . 13
61 breq2 4271 . . . . . . . . . . . . . 14
6261rexrn 5815 . . . . . . . . . . . . 13
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12
64 nfcv 2558 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 nfcv 2558 . . . . . . . . . . . . . . 15
6664, 65, 28nfbr 4311 . . . . . . . . . . . . . 14
67 nfv 1664 . . . . . . . . . . . . . 14
6833breq2d 4279 . . . . . . . . . . . . . 14
6966, 67, 68cbvrex 2923 . . . . . . . . . . . . 13
704fvmpt2i 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
71 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7271fvmpt2i 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7372adantl 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7473eqcomd 2427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7570, 74sylan9eqr 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675breq2d 4279 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776rexbidva 2711 . . . . . . . . . . . . . 14
7877adantlr 699 . . . . . . . . . . . . 13
7969, 78syl5bb 251 . . . . . . . . . . . 12
8063, 79bitrd 247 . . . . . . . . . . 11
8154, 59, 803bitrd 273 . . . . . . . . . 10
8281ralrimiva 2778 . . . . . . . . 9
83 nfv 1664 . . . . . . . . . 10
84 nfcv 2558 . . . . . . . . . . . 12
85 nfcv 2558 . . . . . . . . . . . 12
86 nfmpt1 4356 . . . . . . . . . . . . . 14
8747, 86nfcxfr 2555 . . . . . . . . . . . . 13
88 nfcv 2558 . . . . . . . . . . . . 13
8987, 88nffv 5668 . . . . . . . . . . . 12
9084, 85, 89nfbr 4311 . . . . . . . . . . 11
91 nfcv 2558 . . . . . . . . . . . 12
92 nffvmpt1 5669 . . . . . . . . . . . . 13
9384, 85, 92nfbr 4311 . . . . . . . . . . . 12
9491, 93nfrex 2750 . . . . . . . . . . 11
9590, 94nfbi 1857 . . . . . . . . . 10
96 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . 12
9796breq2d 4279 . . . . . . . . . . 11
98 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . 13
9998breq2d 4279 . . . . . . . . . . . 12
10099rexbidv 2715 . . . . . . . . . . 11
10197, 100bibi12d 315 . . . . . . . . . 10
10283, 95, 101cbvral 2922 . . . . . . . . 9
10382, 102sylib 190 . . . . . . . 8
104103r19.21bi 2793 . . . . . . 7
105 rexr 9375 . . . . . . . . . 10
106105ad2antlr 711 . . . . . . . . 9
107 elioopnf 11328 . . . . . . . . 9
108106, 107syl 16 . . . . . . . 8
10948adantr 455 . . . . . . . . . 10
110109ffvelrnda 5813 . . . . . . . . 9
111110biantrurd 498 . . . . . . . 8
112108, 111bitr4d 250 . . . . . . 7
113106adantr 455 . . . . . . . . . 10
114 elioopnf 11328 . . . . . . . . . 10
115113, 114syl 16 . . . . . . . . 9
1162, 71fmptd 5837 . . . . . . . . . . . . 13
117116ffvelrnda 5813 . . . . . . . . . . . 12
118117biantrurd 498 . . . . . . . . . . 11
119118an32s 787 . . . . . . . . . 10
120119adantllr 703 . . . . . . . . 9
121115, 120bitr4d 250 . . . . . . . 8
122121rexbidva 2711 . . . . . . 7
123104, 112, 1223bitr4d 279 . . . . . 6
124123pm5.32da 626 . . . . 5
125 ffn 5529 . . . . . . . 8
12648, 125syl 16 . . . . . . 7
127126adantr 455 . . . . . 6
128 elpreima 5793 . . . . . 6
129127, 128syl 16 . . . . 5
130 eliun 4150 . . . . . 6
131 ffn 5529 . . . . . . . . . . 11
132116, 131syl 16 . . . . . . . . . 10
133 elpreima 5793 . . . . . . . . . 10
134132, 133syl 16 . . . . . . . . 9
135134rexbidva 2711 . . . . . . . 8
136135adantr 455 . . . . . . 7
137 r19.42v 2854 . . . . . . 7
138136, 137syl6bb 255 . . . . . 6
139130, 138syl5bb 251 . . . . 5
140124, 129, 1393bitr4d 279 . . . 4
141140eqrdv 2420 . . 3
142 zex 10600 . . . . . . 7
143 uzssz 10825 . . . . . . 7
144 ssdomg 7314 . . . . . . 7
145142, 143, 144mp2 9 . . . . . 6
14611, 145eqbrtri 4286 . . . . 5
147 znnen 13435 . . . . 5
148 domentr 7327 . . . . 5
149146, 147, 148mp2an 657 . . . 4
150 mbfsup.4 . . . . . . 7
151 mbfima 20810 . . . . . . 7
152150, 116, 151syl2anc 646 . . . . . 6
153152ralrimiva 2778 . . . . 5
154153adantr 455 . . . 4
155 iunmbl2 20738 . . . 4
156149, 154, 155sylancr 648 . . 3
157141, 156eqeltrd 2496 . 2
15848, 157ismbf3d 20832 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  A.wral 2694  E.wrex 2695   cvv 2951  C_wss 3305   c0 3614  U_ciun 4146   class class class wbr 4267  e.cmpt 4325   cid 4602  'ccnv 4810  domcdm 4811  rancrn 4812  "cima 4814  Fnwfn 5385  -->wf 5386  cfv 5390  (class class class)co 6061   cen 7266   cdom 7267  supcsup 7637   cr 9227   cpnf 9361   cxr 9363   clt 9364   cle 9365   cn 10268   cz 10591   cuz 10806   cioo 11245   cvol 20647   cmbf 20794 This theorem is referenced by:  mbfinf  20843  mbflimsup  20844 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cc 8551  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-disj 4238  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-omul 6886  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-acn 8059  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xadd 11035  df-ioo 11249  df-ioc 11250  df-ico 11251  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-clim 12907  df-rlim 12908  df-sum 13105  df-xmet 17520  df-met 17521  df-ovol 20648  df-vol 20649  df-mbf 20799
 Copyright terms: Public domain W3C validator