Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsup Unicode version

Theorem mbfsup 21542
 Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems, B( ,x) is a function of both and , since it is an -indexed sequence of functions on . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1
mbfsup.2
mbfsup.3
mbfsup.4
mbfsup.5
mbfsup.6
Assertion
Ref Expression
mbfsup
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem mbfsup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8
21anassrs 648 . . . . . . 7
32an32s 802 . . . . . 6
4 eqid 2454 . . . . . 6
53, 4fmptd 5990 . . . . 5
6 frn 5685 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
8 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10
9 uzid 11014 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9
11 mbfsup.1 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6eleqr 2553 . . . . . . . 8
1312adantr 465 . . . . . . 7
14 fdm 5683 . . . . . . . 8
155, 14syl 16 . . . . . . 7
1613, 15eleqtrrd 2545 . . . . . 6
17 ne0i 3757 . . . . . 6
1816, 17syl 16 . . . . 5
19 dm0rn0 5173 . . . . . 6
2019necon3bii 2721 . . . . 5
2118, 20sylib 196 . . . 4
22 mbfsup.6 . . . . 5
23 ffn 5679 . . . . . . . . 9
245, 23syl 16 . . . . . . . 8
25 breq1 4412 . . . . . . . . 9
2625ralrn 5969 . . . . . . . 8
2724, 26syl 16 . . . . . . 7
28 nffvmpt1 5821 . . . . . . . . . 10
29 nfcv 2616 . . . . . . . . . 10
30 nfcv 2616 . . . . . . . . . 10
3128, 29, 30nfbr 4453 . . . . . . . . 9
32 nfv 1674 . . . . . . . . 9
33 fveq2 5813 . . . . . . . . . 10
3433breq1d 4419 . . . . . . . . 9
3531, 32, 34cbvral 3052 . . . . . . . 8
36 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
374fvmpt2 5904 . . . . . . . . . . 11
3836, 3, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
3938breq1d 4419 . . . . . . . . 9
4039ralbidva 2845 . . . . . . . 8
4135, 40syl5bb 257 . . . . . . 7
4227, 41bitrd 253 . . . . . 6
4342rexbidv 2875 . . . . 5
4422, 43mpbird 232 . . . 4
45 suprcl 10427 . . . 4
467, 21, 44, 45syl3anc 1219 . . 3
47 mbfsup.2 . . 3
4846, 47fmptd 5990 . 2
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
50 ltso 9592 . . . . . . . . . . . . . 14
5150supex 7849 . . . . . . . . . . . . 13
5247fvmpt2 5904 . . . . . . . . . . . . 13
5349, 51, 52sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
5453breq2d 4421 . . . . . . . . . . 11
557, 21, 443jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13
5655adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
57 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12
58 suprlub 10429 . . . . . . . . . . . 12
5956, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
6024adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
61 breq2 4413 . . . . . . . . . . . . . 14
6261rexrn 5968 . . . . . . . . . . . . 13
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12
64 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15
6664, 65, 28nfbr 4453 . . . . . . . . . . . . . 14
67 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . 14
6833breq2d 4421 . . . . . . . . . . . . . 14
6966, 67, 68cbvrex 3053 . . . . . . . . . . . . 13
704fvmpt2i 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
71 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7271fvmpt2i 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7473eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7570, 74sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675breq2d 4421 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776rexbidva 2872 . . . . . . . . . . . . . 14
7877adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
7969, 78syl5bb 257 . . . . . . . . . . . 12
8063, 79bitrd 253 . . . . . . . . . . 11
8154, 59, 803bitrd 279 . . . . . . . . . 10
8281ralrimiva 2831 . . . . . . . . 9
83 nfv 1674 . . . . . . . . . 10
84 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . 12
85 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . 12
86 nfmpt1 4498 . . . . . . . . . . . . . 14
8747, 86nfcxfr 2614 . . . . . . . . . . . . 13
88 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . 13
8987, 88nffv 5820 . . . . . . . . . . . 12
9084, 85, 89nfbr 4453 . . . . . . . . . . 11
91 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . 12
92 nffvmpt1 5821 . . . . . . . . . . . . 13
9384, 85, 92nfbr 4453 . . . . . . . . . . . 12
9491, 93nfrex 2891 . . . . . . . . . . 11
9590, 94nfbi 1872 . . . . . . . . . 10
96 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . 12
9796breq2d 4421 . . . . . . . . . . 11
98 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . 13
9998breq2d 4421 . . . . . . . . . . . 12
10099rexbidv 2875 . . . . . . . . . . 11
10197, 100bibi12d 321 . . . . . . . . . 10
10283, 95, 101cbvral 3052 . . . . . . . . 9
10382, 102sylib 196 . . . . . . . 8
104103r19.21bi 2922 . . . . . . 7
105 rexr 9566 . . . . . . . . . 10
106105ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
107 elioopnf 11528 . . . . . . . . 9
108106, 107syl 16 . . . . . . . 8
10948adantr 465 . . . . . . . . . 10
110109ffvelrnda 5966 . . . . . . . . 9
111110biantrurd 508 . . . . . . . 8
112108, 111bitr4d 256 . . . . . . 7
113106adantr 465 . . . . . . . . . 10
114 elioopnf 11528 . . . . . . . . . 10
115113, 114syl 16 . . . . . . . . 9
1162, 71fmptd 5990 . . . . . . . . . . . . 13
117116ffvelrnda 5966 . . . . . . . . . . . 12
118117biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11
119118an32s 802 . . . . . . . . . 10
120119adantllr 718 . . . . . . . . 9
121115, 120bitr4d 256 . . . . . . . 8
122121rexbidva 2872 . . . . . . 7
123104, 112, 1223bitr4d 285 . . . . . 6
124123pm5.32da 641 . . . . 5
125 ffn 5679 . . . . . . . 8
12648, 125syl 16 . . . . . . 7
127126adantr 465 . . . . . 6
128 elpreima 5946 . . . . . 6
129127, 128syl 16 . . . . 5
130 eliun 4292 . . . . . 6
131 ffn 5679 . . . . . . . . . . 11
132116, 131syl 16 . . . . . . . . . 10
133 elpreima 5946 . . . . . . . . . 10
134132, 133syl 16 . . . . . . . . 9
135134rexbidva 2872 . . . . . . . 8
136135adantr 465 . . . . . . 7
137 r19.42v 2984 . . . . . . 7
138136, 137syl6bb 261 . . . . . 6
139130, 138syl5bb 257 . . . . 5
140124, 129, 1393bitr4d 285 . . . 4
141140eqrdv 2451 . . 3
142 zex 10793 . . . . . . 7
143 uzssz 11019 . . . . . . 7
144 ssdomg 7489 . . . . . . 7
145142, 143, 144mp2 9 . . . . . 6
14611, 145eqbrtri 4428 . . . . 5
147 znnen 13653 . . . . 5
148 domentr 7502 . . . . 5
149146, 147, 148mp2an 672 . . . 4
150 mbfsup.4 . . . . . . 7
151 mbfima 21510 . . . . . . 7
152150, 116, 151syl2anc 661 . . . . . 6
153152ralrimiva 2831 . . . . 5
154153adantr 465 . . . 4
155 iunmbl2 21438 . . . 4
156149, 154, 155sylancr 663 . . 3
157141, 156eqeltrd 2542 . 2
15848, 157ismbf3d 21532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  A.wral 2800  E.wrex 2801   cvv 3081  C_wss 3442   c0 3751  U_ciun 4288   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467   cid 4748  'ccnv 4956  domcdm 4957  rancrn 4958  "cima 4960  Fnwfn 5532  -->wf 5533  cfv 5537  (class class class)co 6222   cen 7441   cdom 7442  supcsup 7826   cr 9418   cpnf 9552   cxr 9554   clt 9555   cle 9556   cn 10460   cz 10784   cuz 11000   cioo 11439   cvol 21346   cmbf 21494 This theorem is referenced by:  mbfinf  21543  mbflimsup  21544 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cc 8741  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-disj 4380  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-omul 7059  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-acn 8249  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xadd 11229  df-ioo 11443  df-ioc 11444  df-ico 11445  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-fl 11787  df-seq 11964  df-exp 12023  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-clim 13124  df-rlim 13125  df-sum 13322  df-xmet 18003  df-met 18004  df-ovol 21347  df-vol 21348  df-mbf 21499
 Copyright terms: Public domain W3C validator