MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mettri2 Unicode version

Theorem mettri2 20315
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mettri2

Proof of Theorem mettri2
StepHypRef Expression
1 metxmet 20308 . . 3
2 xmettri2 20314 . . 3
31, 2sylan 471 . 2
4 metcl 20306 . . . 4
543adant3r3 1199 . . 3
6 metcl 20306 . . . 4
763adant3r2 1198 . . 3
8 rexadd 11341 . . 3
95, 7, 8syl2anc 661 . 2
103, 9breqtrd 4433 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758   class class class wbr 4409  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cr 9418   caddc 9422   cle 9556   cxad 11226   cxmt 17994   cme 17995
This theorem is referenced by:  mettri  20326  mstri2  20441  metf1o  29111  isbnd3  29143  heibor1lem  29168  bfplem2  29182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-mulcl 9481  ax-i2m1 9487
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4209  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-id 4753  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-xadd 11229  df-xmet 18003  df-met 18004
  Copyright terms: Public domain W3C validator