MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustsymOLD Unicode version

Theorem metustsymOLD 19836
Description: Elements of the filter base generated by the metric are symmetric. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1
Assertion
Ref Expression
metustsymOLD
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem metustsymOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4
21metustssOLD 19828 . . 3
3 cnvss 4983 . . . 4
4 cnvxp 5227 . . . 4
53, 4syl6sseq 3379 . . 3
62, 5syl 16 . 2
7 simp-4l 750 . . . . . . . . . 10
8 simpr1r 1031 . . . . . . . . . . 11
983anassrs 1194 . . . . . . . . . 10
10 simpr1l 1030 . . . . . . . . . . 11
11103anassrs 1194 . . . . . . . . . 10
12 xmetsym 19622 . . . . . . . . . 10
137, 9, 11, 12syl3anc 1203 . . . . . . . . 9
14 df-ov 6064 . . . . . . . . 9
15 df-ov 6064 . . . . . . . . 9
1613, 14, 153eqtr3g 2477 . . . . . . . 8
1716eleq1d 2488 . . . . . . 7
18 xmetf 19604 . . . . . . . . 9
19 ffun 5531 . . . . . . . . 9
207, 18, 193syl 19 . . . . . . . 8
21 simpllr 743 . . . . . . . . . . 11
2221ancomd 442 . . . . . . . . . 10
23 opelxpi 4842 . . . . . . . . . 10
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9
25 fdm 5533 . . . . . . . . . 10
267, 18, 253syl 19 . . . . . . . . 9
2724, 26eleqtrrd 2499 . . . . . . . 8
28 fvimacnv 5788 . . . . . . . 8
2920, 27, 28syl2anc 646 . . . . . . 7
30 opelxpi 4842 . . . . . . . . . 10
3121, 30syl 16 . . . . . . . . 9
3231, 26eleqtrrd 2499 . . . . . . . 8
33 fvimacnv 5788 . . . . . . . 8
3420, 32, 33syl2anc 646 . . . . . . 7
3517, 29, 343bitr3d 277 . . . . . 6
36 simpr 451 . . . . . . 7
3736eleq2d 2489 . . . . . 6
3836eleq2d 2489 . . . . . 6
3935, 37, 383bitr4d 279 . . . . 5
40 eqid 2422 . . . . . . . . 9
4140elrnmpt 5057 . . . . . . . 8
4241ibi 235 . . . . . . 7
4342, 1eleq2s 2514 . . . . . 6
4443ad2antlr 711 . . . . 5
4539, 44r19.29a 2841 . . . 4
46 df-br 4268 . . . . 5
47 vex 2954 . . . . . 6
48 vex 2954 . . . . . 6
4947, 48opelcnv 4992 . . . . 5
5046, 49bitri 243 . . . 4
51 df-br 4268 . . . 4
5245, 50, 513bitr4g 282 . . 3
53523impb 1168 . 2
546, 2, 53eqbrrdva 4980 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  E.wrex 2695  C_wss 3305  <.cop 3856   class class class wbr 4267  e.cmpt 4325  X.cxp 4809  `'ccnv 4810  domcdm 4811  rancrn 4812  "cima 4814  Funwfun 5384  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061  0cc0 9228   cxr 9363   crp 10936   cico 11247   cxmt 17511
This theorem is referenced by:  metustOLD  19842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-op 3862  df-uni 4067  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-er 7062  df-map 7177  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-xadd 11035  df-xmet 17520
  Copyright terms: Public domain W3C validator