MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirbtwnb Unicode version

Theorem mirbtwnb 23185
Description: Point inversion preserves betweenness. Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p
mirval.d
mirval.i
mirval.l
mirval.s
mirval.g
mirval.a
mirfv.m
miriso.1
miriso.2
mirbtwnb.z
Assertion
Ref Expression
mirbtwnb

Proof of Theorem mirbtwnb
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3
2 mirval.d . . 3
3 mirval.i . . 3
4 mirval.l . . 3
5 mirval.s . . 3
6 mirval.g . . . 4
76adantr 465 . . 3
8 mirval.a . . . 4
98adantr 465 . . 3
10 mirfv.m . . 3
11 miriso.1 . . . 4
1211adantr 465 . . 3
13 miriso.2 . . . 4
1413adantr 465 . . 3
15 mirbtwnb.z . . . 4
1615adantr 465 . . 3
17 simpr 461 . . 3
181, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17mirbtwni 23184 . 2
196adantr 465 . . . 4
208adantr 465 . . . 4
211, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10mirf 23174 . . . . 5
2211adantr 465 . . . . 5
2321, 22ffvelrnd 5927 . . . 4
2413adantr 465 . . . . 5
2521, 24ffvelrnd 5927 . . . 4
2615adantr 465 . . . . 5
2721, 26ffvelrnd 5927 . . . 4
28 simpr 461 . . . 4
291, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10, 23, 25, 27, 28mirbtwni 23184 . . 3
301, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13mirmir 23176 . . . . 5
311, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11mirmir 23176 . . . . . 6
321, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15mirmir 23176 . . . . . 6
3331, 32oveq12d 6192 . . . . 5
3430, 33eleq12d 2530 . . . 4
3534adantr 465 . . 3
3629, 35mpbid 210 . 2
3718, 36impbida 828 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757  `cfv 5500  (class class class)co 6174   cbs 14260   cds 14333   cstrkg 22989   citv 22996   clng 22997   cmir 23165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4485  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456  ax-cnex 9423  ax-resscn 9424  ax-1cn 9425  ax-icn 9426  ax-addcl 9427  ax-addrcl 9428  ax-mulcl 9429  ax-mulrcl 9430  ax-mulcom 9431  ax-addass 9432  ax-mulass 9433  ax-distr 9434  ax-i2m1 9435  ax-1ne0 9436  ax-1rid 9437  ax-rnegex 9438  ax-rrecex 9439  ax-cnre 9440  ax-pre-lttri 9441  ax-pre-lttrn 9442  ax-pre-ltadd 9443  ax-pre-mulgt0 9444
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pss 3426  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-int 4211  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4468  df-eprel 4714  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-fr 4761  df-we 4763  df-ord 4804  df-on 4805  df-lim 4806  df-suc 4807  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-riota 6135  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-om 6561  df-1st 6661  df-2nd 6662  df-recs 6916  df-rdg 6950  df-1o 7004  df-oadd 7008  df-er 7185  df-pm 7301  df-en 7395  df-dom 7396  df-sdom 7397  df-fin 7398  df-card 8194  df-cda 8422  df-pnf 9505  df-mnf 9506  df-xr 9507  df-ltxr 9508  df-le 9509  df-sub 9682  df-neg 9683  df-nn 10408  df-2 10465  df-3 10466  df-n0 10665  df-z 10732  df-uz 10947  df-fz 11523  df-fzo 11634  df-hash 12189  df-word 12315  df-concat 12317  df-s1 12318  df-s2 12561  df-s3 12562  df-trkgc 23008  df-trkgb 23009  df-trkgcb 23010  df-trkg 23014  df-cgrg 23067  df-mir 23166
  Copyright terms: Public domain W3C validator