Theorem mnfaddpnf 11459

Description: Addition of negative and positive infinity. This is often taken to be a "null" value or out of the domain, but we define it (somewhat arbitrarily) to be zero so that the resulting function is total, which simplifies proofs. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mnfaddpnf

Proof of Theorem mnfaddpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11352	. . 3
2		pnfxr 11350	. . 3
3		xaddval 11451	. . 3
4	1, 2, 3	mp2an 672	. 2
5		mnfnepnf 11356	. . . 4
6		ifnefalse 3953	. . . 4
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3
8		eqid 2457	. . . . 5
9	8	iftruei 3948	. . . 4
10		eqid 2457	. . . . 5
11	10	iftruei 3948	. . . 4
12	9, 11	eqtri 2486	. . 3
13	7, 12	eqtri 2486	. 2
14	4, 13	eqtri 2486	1

Syntax hints:  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  ifcif 3941  (class class class)co 6296  0cc0 9513  caddc 9516  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648  cxad 11345

This theorem is referenced by:  xnegid  11464  xaddcom  11466  xnegdi  11469  xsubge0  11482  xadddilem  11515  xrsnsgrp  18454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-mulcl 9575  ax-i2m1 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-xadd 11348