MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modadd1 Unicode version

Theorem modadd1 12033
Description: Addition property of the modulo operation. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modadd1

Proof of Theorem modadd1
StepHypRef Expression
1 modval 11998 . . . . . . . 8
2 modval 11998 . . . . . . . 8
31, 2eqeqan12d 2480 . . . . . . 7
43anandirs 831 . . . . . 6
54adantrl 715 . . . . 5
6 oveq1 6303 . . . . 5
75, 6syl6bi 228 . . . 4
8 recn 9603 . . . . . . . 8
98adantr 465 . . . . . . 7
10 recn 9603 . . . . . . . 8
1110ad2antrl 727 . . . . . . 7
12 rpcn 11257 . . . . . . . . . 10
1312adantl 466 . . . . . . . . 9
14 rerpdivcl 11276 . . . . . . . . . 10
15 reflcl 11933 . . . . . . . . . . 11
1615recnd 9643 . . . . . . . . . 10
1714, 16syl 16 . . . . . . . . 9
1813, 17mulcld 9637 . . . . . . . 8
1918adantrl 715 . . . . . . 7
209, 11, 19addsubd 9975 . . . . . 6
2120adantlr 714 . . . . 5
22 recn 9603 . . . . . . . 8
2322adantr 465 . . . . . . 7
2410ad2antrl 727 . . . . . . 7
2512adantl 466 . . . . . . . . 9
26 rerpdivcl 11276 . . . . . . . . . 10
27 reflcl 11933 . . . . . . . . . . 11
2827recnd 9643 . . . . . . . . . 10
2926, 28syl 16 . . . . . . . . 9
3025, 29mulcld 9637 . . . . . . . 8
3130adantrl 715 . . . . . . 7
3223, 24, 31addsubd 9975 . . . . . 6
3332adantll 713 . . . . 5
3421, 33eqeq12d 2479 . . . 4
357, 34sylibrd 234 . . 3
36 oveq1 6303 . . . 4
37 readdcl 9596 . . . . . . . 8
3837adantrr 716 . . . . . . 7
39 simprr 757 . . . . . . 7
4014flcld 11935 . . . . . . . 8
4140adantrl 715 . . . . . . 7
42 modcyc2 12032 . . . . . . 7
4338, 39, 41, 42syl3anc 1228 . . . . . 6
4443adantlr 714 . . . . 5
45 readdcl 9596 . . . . . . . 8
4645adantrr 716 . . . . . . 7
47 simprr 757 . . . . . . 7
4826flcld 11935 . . . . . . . 8
4948adantrl 715 . . . . . . 7
50 modcyc2 12032 . . . . . . 7
5146, 47, 49, 50syl3anc 1228 . . . . . 6
5251adantll 713 . . . . 5
5344, 52eqeq12d 2479 . . . 4
5436, 53syl5ib 219 . . 3
5535, 54syld 44 . 2
56553impia 1193 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cdiv 10231   cz 10889   crp 11249   cfl 11927   cmo 11996
This theorem is referenced by:  modaddabs  12034  modaddmod  12035  modadd12d  12043  modaddmulmod  12053  moddvds  13993  modsubi  14558  lgslem4  23574  lgsvalmod  23590  lgsmod  23596  lgsne0  23608  lgseisen  23628  pellexlem6  30770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997
  Copyright terms: Public domain W3C validator