Theorem modaddmodup 12050

Description: The sum of an integer modulo a positive integer and another integer minus the positive integer equals the sum of the two integers modulo the positive integer if the other integer is in the upper part of the range between 0 and the positive integer. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modaddmodup

Proof of Theorem modaddmodup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 11829	. . . . . . . 8
2	1	zred 10994	. . . . . . 7
3	2	adantr 465	. . . . . 6
4		zmodcl 12015	. . . . . . . 8
5	4	nn0red 10878	. . . . . . 7
6	5	adantl 466	. . . . . 6
7	3, 6	readdcld 9644	. . . . 5
8	7	ancoms 453	. . . 4
9		nnrp 11258	. . . . 5
10	9	ad2antlr 726	. . . 4
11		elfzo2 11832	. . . . . 6
12		eluz2 11116	. . . . . . . 8
13		nnre 10568	. . . . . . . . . . . . . 14
14	13	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
16	5	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
17		zre 10893	. . . . . . . . . . . . 13
18	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
19	15, 16, 18	lesubaddd 10174	. . . . . . . . . . 11
20	19	biimpd 207	. . . . . . . . . 10
21	20	impancom 440	. . . . . . . . 9
22	21	3adant1 1014	. . . . . . . 8
23	12, 22	sylbi 195	. . . . . . 7
24	23	3ad2ant1 1017	. . . . . 6
25	11, 24	sylbi 195	. . . . 5
26	25	impcom 430	. . . 4
27		eluzelz 11119	. . . . . . . . 9
28	17, 5	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	13, 13	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
30	29	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	28, 31	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
34		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14
35		zre 10893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
36		modlt 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
37	35, 9, 36	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	5, 14, 37	ltled 9754	. . . . . . . . . . . . . . 15
39	38	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14
40	34, 39	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13
41		ltleadd 10060	. . . . . . . . . . . . 13
42	33, 40, 41	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12
43		nncn 10569	. . . . . . . . . . . . . . 15
44	43	2timesd 10806	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12
47	42, 46	breqtrrd 4478	. . . . . . . . . . 11
48	47	exp31 604	. . . . . . . . . 10
49	48	com23 78	. . . . . . . . 9
50	27, 49	syl 16	. . . . . . . 8
51	50	imp 429	. . . . . . 7
52	51	3adant2 1015	. . . . . 6
53	11, 52	sylbi 195	. . . . 5
54	53	impcom 430	. . . 4
55		2submod 12048	. . . . 5
56	55	eqcomd 2465	. . . 4
57	8, 10, 26, 54, 56	syl22anc 1229	. . 3
58	35	adantr 465	. . . . 5
59	58	adantr 465	. . . 4
60	2	adantl 466	. . . 4
61		modadd2mod 12037	. . . 4
62	59, 60, 10, 61	syl3anc 1228	. . 3
63	57, 62	eqtrd 2498	. 2
64	63	ex 434	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cr 9512  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cn 10561  2c2 10610  cz 10889  cuz 11110  crp 11249  cfzo 11824  cmo 11996

This theorem is referenced by:  cshwidxmod  12774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997