Theorem modaddmulmod 12053

Description: The sum of a real number and the product of a second real number modulo a positive real number and an integer equals the sum of the real number and the product of the other real number and the integer modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modaddmulmod

Proof of Theorem modaddmulmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 9603	. . . . . 6
2	1	3ad2ant1 1017	. . . . 5
3	2	adantr 465	. . . 4
4		simpl2 1000	. . . . . . 7
5		simpr 461	. . . . . . 7
6	4, 5	modcld 12002	. . . . . 6
7	6	recnd 9643	. . . . 5
8		zcn 10894	. . . . . . 7
9	8	3ad2ant3 1019	. . . . . 6
10	9	adantr 465	. . . . 5
11	7, 10	mulcld 9637	. . . 4
12	3, 11	addcomd 9803	. . 3
13	12	oveq1d 6311	. 2
14		zre 10893	. . . . . 6
15	14	3ad2ant3 1019	. . . . 5
16	15	adantr 465	. . . 4
17	6, 16	remulcld 9645	. . 3
18		simpl 457	. . . . . . 7
19	14	adantl 466	. . . . . . 7
20	18, 19	remulcld 9645	. . . . . 6
21	20	3adant1 1014	. . . . 5
22	21	adantr 465	. . . 4
23	22, 5	modcld 12002	. . 3
24		simp1 996	. . . 4
25	24	anim1i 568	. . 3
26		simpl3 1001	. . . . 5
27		modmulmod 12052	. . . . 5
28	4, 26, 5, 27	syl3anc 1228	. . . 4
29		remulcl 9598	. . . . . . 7
30	14, 29	sylan2 474	. . . . . 6
31	30	3adant1 1014	. . . . 5
32		modabs2 12030	. . . . 5
33	31, 32	sylan 471	. . . 4
34	28, 33	eqtr4d 2501	. . 3
35		modadd1 12033	. . 3
36	17, 23, 25, 34, 35	syl211anc 1234	. 2
37	31	adantr 465	. . . 4
38	24	adantr 465	. . . 4
39		modaddmod 12035	. . . 4
40	37, 38, 5, 39	syl3anc 1228	. . 3
41		recn 9603	. . . . . . . 8
42		mulcl 9597	. . . . . . . 8
43	41, 8, 42	syl2an 477	. . . . . . 7
44	43	3adant1 1014	. . . . . 6
45	44, 2	addcomd 9803	. . . . 5
46	45	adantr 465	. . . 4
47	46	oveq1d 6311	. . 3
48	40, 47	eqtrd 2498	. 2
49	13, 36, 48	3eqtrd 2502	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  caddc 9516  cmul 9518  cz 10889  crp 11249  cmo 11996

This theorem is referenced by:  modprm0  14330  modprmn0modprm0  14332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997