MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  moddvds Unicode version

Theorem moddvds 13993
Description: Two ways to say A== ( N). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
moddvds

Proof of Theorem moddvds
StepHypRef Expression
1 nnrp 11258 . . . . . 6
21adantr 465 . . . . 5
3 0mod 12027 . . . . 5
42, 3syl 16 . . . 4
54eqeq2d 2471 . . 3
6 zre 10893 . . . . . . 7
76ad2antrl 727 . . . . . 6
8 zre 10893 . . . . . . 7
98ad2antll 728 . . . . . 6
109renegcld 10011 . . . . . 6
11 modadd1 12033 . . . . . . 7
12113expia 1198 . . . . . 6
137, 9, 10, 2, 12syl22anc 1229 . . . . 5
147recnd 9643 . . . . . . . 8
159recnd 9643 . . . . . . . 8
1614, 15negsubd 9960 . . . . . . 7
1716oveq1d 6311 . . . . . 6
1815negidd 9944 . . . . . . 7
1918oveq1d 6311 . . . . . 6
2017, 19eqeq12d 2479 . . . . 5
2113, 20sylibd 214 . . . 4
227, 9resubcld 10012 . . . . . 6
23 0red 9618 . . . . . 6
24 modadd1 12033 . . . . . . 7
25243expia 1198 . . . . . 6
2622, 23, 9, 2, 25syl22anc 1229 . . . . 5
2714, 15npcand 9958 . . . . . . 7
2827oveq1d 6311 . . . . . 6
2915addid2d 9802 . . . . . . 7
3029oveq1d 6311 . . . . . 6
3128, 30eqeq12d 2479 . . . . 5
3226, 31sylibd 214 . . . 4
3321, 32impbid 191 . . 3
34 zsubcl 10931 . . . 4
35 dvdsval3 13990 . . . 4
3634, 35sylan2 474 . . 3
375, 33, 363bitr4d 285 . 2
38373impb 1192 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cmin 9828  -ucneg 9829   cn 10561   cz 10889   crp 11249   cmo 11996   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  dvdsmod  14043  sadadd3  14111  sadaddlem  14116  crt  14308  eulerthlem2  14312  prmdiv  14315  prmdiveq  14316  odzcllem  14319  odzdvds  14322  odzphi  14323  modprm1div  14324  pockthlem  14423  4sqlem11  14473  4sqlem12  14474  mndodcong  16566  dfod2  16586  sylow3lem6  16652  znf1o  18590  wilthlem1  23342  wilthlem2  23343  wilthlem3  23344  ppiub  23479  lgslem1  23571  lgsmod  23596  lgsdirprm  23604  lgsqrlem1  23616  lgsqrlem2  23617  lgsqr  23621  lgsdchrval  23622  lgseisenlem2  23625  lgseisenlem3  23626  lgseisenlem4  23627  m1lgs  23637  dvdsabsmod0  30928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator