Theorem modfsummod 13608

Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
modfsummod.n
modfsummod.1
modfsummod.2

Assertion

Ref	Expression
modfsummod

Distinct variable groups:   ,   ,N

Proof of Theorem modfsummod

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modfsummod.2	. 2
2		modfsummod.n	. 2
3		modfsummod.1	. . 3
4		raleq 3054	. . . . . 6
5	4	anbi1d 704	. . . . 5
6		sumeq1 13511	. . . . . . 7
7	6	oveq1d 6311	. . . . . 6
8		sumeq1 13511	. . . . . . 7
9	8	oveq1d 6311	. . . . . 6
10	7, 9	eqeq12d 2479	. . . . 5
11	5, 10	imbi12d 320	. . . 4
12		raleq 3054	. . . . . 6
13	12	anbi1d 704	. . . . 5
14		sumeq1 13511	. . . . . . 7
15	14	oveq1d 6311	. . . . . 6
16		sumeq1 13511	. . . . . . 7
17	16	oveq1d 6311	. . . . . 6
18	15, 17	eqeq12d 2479	. . . . 5
19	13, 18	imbi12d 320	. . . 4
20		raleq 3054	. . . . . 6
21	20	anbi1d 704	. . . . 5
22		sumeq1 13511	. . . . . . 7
23	22	oveq1d 6311	. . . . . 6
24		sumeq1 13511	. . . . . . 7
25	24	oveq1d 6311	. . . . . 6
26	23, 25	eqeq12d 2479	. . . . 5
27	21, 26	imbi12d 320	. . . 4
28		raleq 3054	. . . . . 6
29	28	anbi1d 704	. . . . 5
30		sumeq1 13511	. . . . . . 7
31	30	oveq1d 6311	. . . . . 6
32		sumeq1 13511	. . . . . . 7
33	32	oveq1d 6311	. . . . . 6
34	31, 33	eqeq12d 2479	. . . . 5
35	29, 34	imbi12d 320	. . . 4
36		sum0 13543	. . . . . . . 8
37	36	a1i 11	. . . . . . 7
38	37	oveq1d 6311	. . . . . 6
39		sum0 13543	. . . . . . 7
40	39	oveq1i 6306	. . . . . 6
41	38, 40	syl6reqr 2517	. . . . 5
42	41	adantl 466	. . . 4
43		simpll 753	. . . . . . . . . 10
44		simplrr 762	. . . . . . . . . 10
45		ralun 3685	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
47	46	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11
48	47	imp 429	. . . . . . . . . 10
49		modfsummods 13607	. . . . . . . . . 10
50	43, 44, 48, 49	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
51	50	ex 434	. . . . . . . 8
52	51	com23 78	. . . . . . 7
53	52	ex 434	. . . . . 6
54	53	a2d 26	. . . . 5
55		ralunb 3684	. . . . . . . 8
56	55	anbi1i 695	. . . . . . 7
57	56	imbi1i 325	. . . . . 6
58		an32 798	. . . . . . 7
59	58	imbi1i 325	. . . . . 6
60		impexp 446	. . . . . 6
61	57, 59, 60	3bitri 271	. . . . 5
62	54, 61	syl6ibr 227	. . . 4
63	11, 19, 27, 35, 42, 62	findcard2 7780	. . 3
64	3, 63	syl 16	. 2
65	1, 2, 64	mp2and 679	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  u.cun 3473  c0 3784  {csn 4029  (class class class)co 6296  cfn 7536  0cc0 9513  cn 10561  cz 10889  cmo 11996  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  numclwwlk6  25113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509