MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modfsummods Unicode version

Theorem modfsummods 13607
Description: Induction step for modfsummod 13608. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
modfsummods
Distinct variable groups:   ,   ,N   ,

Proof of Theorem modfsummods
StepHypRef Expression
1 snssi 4174 . . 3
2 ssequn1 3673 . . . 4
3 uncom 3647 . . . . . . . 8
43eqeq1i 2464 . . . . . . 7
5 sumeq1 13511 . . . . . . . . . 10
65oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
7 sumeq1 13511 . . . . . . . . . 10
87oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
96, 8eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
109eqcoms 2469 . . . . . . 7
114, 10sylbi 195 . . . . . 6
1211biimpd 207 . . . . 5
1312a1d 25 . . . 4
142, 13sylbi 195 . . 3
151, 14syl 16 . 2
16 df-nel 2655 . . 3
17 simp1 996 . . . . . . . . . 10
1817adantl 466 . . . . . . . . 9
19 simpl 457 . . . . . . . . 9
20 simpr3 1004 . . . . . . . . 9
2118, 19, 203jca 1176 . . . . . . . 8
2221adantr 465 . . . . . . 7
23 fsumsplitsnun 13570 . . . . . . 7
2422, 23syl 16 . . . . . 6
2524oveq1d 6311 . . . . 5
26 ralunb 3684 . . . . . . . . . . . . . 14
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14
2826, 27sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
29 fsumzcl2 13560 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12
31303adant2 1015 . . . . . . . . . . 11
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10
3332zred 10994 . . . . . . . . 9
34 modfsummodslem1 13606 . . . . . . . . . . . 12
35343ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . 11
3635adantl 466 . . . . . . . . . 10
3736zred 10994 . . . . . . . . 9
38 nnrp 11258 . . . . . . . . . . 11
39383ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10
4039adantl 466 . . . . . . . . 9
41 modaddabs 12034 . . . . . . . . 9
4233, 37, 40, 41syl3anc 1228 . . . . . . . 8
4342eqcomd 2465 . . . . . . 7
4443adantr 465 . . . . . 6
45 simpr 461 . . . . . . . 8
4634zred 10994 . . . . . . . . . . . . 13
47463ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12
4847adantl 466 . . . . . . . . . . 11
4948, 40jca 532 . . . . . . . . . 10
5049adantr 465 . . . . . . . . 9
51 modabs2 12030 . . . . . . . . . 10
5251eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
5350, 52syl 16 . . . . . . . 8
5445, 53oveq12d 6314 . . . . . . 7
5554oveq1d 6311 . . . . . 6
5644, 55eqtrd 2498 . . . . 5
57 zmodcl 12015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5857nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5958expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6326, 62sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
6463impcom 430 . . . . . . . . . . . 12
65643adant1 1014 . . . . . . . . . . 11
6617, 65jca 532 . . . . . . . . . 10
67 fsumzcl2 13560 . . . . . . . . . . 11
6867zred 10994 . . . . . . . . . 10
6966, 68syl 16 . . . . . . . . 9
7069adantl 466 . . . . . . . 8
7170adantr 465 . . . . . . 7
7234anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13
7372ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12
74 zmodcl 12015 . . . . . . . . . . . 12
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11
7675nn0red 10878 . . . . . . . . . 10
77763adant1 1014 . . . . . . . . 9
7877adantl 466 . . . . . . . 8
7978adantr 465 . . . . . . 7
8040adantr 465 . . . . . . 7
81 modaddabs 12034 . . . . . . 7
8271, 79, 80, 81syl3anc 1228 . . . . . 6
8318adantr 465 . . . . . . . . . 10
8419adantr 465 . . . . . . . . . 10
8559ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . . . 14
8685imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
87863adant1 1014 . . . . . . . . . . . 12
8887adantl 466 . . . . . . . . . . 11
8988adantr 465 . . . . . . . . . 10
90 fsumsplitsnun 13570 . . . . . . . . . 10
9183, 84, 89, 90syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
92 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
93 csbov1g 6334 . . . . . . . . . . 11
9492, 93mp1i 12 . . . . . . . . . 10
9594oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
9691, 95eqtrd 2498 . . . . . . . 8
9796eqcomd 2465 . . . . . . 7
9897oveq1d 6311 . . . . . 6
9982, 98eqtrd 2498 . . . . 5
10025, 56, 993eqtrd 2502 . . . 4
101100exp31 604 . . 3
10216, 101sylbir 213 . 2
10315, 102pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  e/wnel 2653  A.wral 2807   cvv 3109  [_csb 3434  u.cun 3473  C_wss 3475  {csn 4029  (class class class)co 6296   cfn 7536   cr 9512   caddc 9516   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   crp 11249   cmo 11996  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  modfsummod  13608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator