Theorem modgcd 14174

Description: The gcd remains unchanged if one operand is replaced with its remainder modulo the other. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
modgcd

Proof of Theorem modgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 10893	. . . . . 6
2		nnrp 11258	. . . . . 6
3		modval 11998	. . . . . 6
4	1, 2, 3	syl2an 477	. . . . 5
5		zcn 10894	. . . . . . 7
6	5	adantr 465	. . . . . 6
7		nncn 10569	. . . . . . 7
8	7	adantl 466	. . . . . 6
9		nnre 10568	. . . . . . . . . 10
10		nnne0 10593	. . . . . . . . . 10
11		redivcl 10288	. . . . . . . . . 10
12	1, 9, 10, 11	syl3an 1270	. . . . . . . . 9
13	12	3anidm23 1287	. . . . . . . 8
14	13	flcld 11935	. . . . . . 7
15	14	zcnd 10995	. . . . . 6
16		mulneg1 10018	. . . . . . . . . . 11
17		mulcom 9599	. . . . . . . . . . . 12
18	17	negeqd 9837	. . . . . . . . . . 11
19	16, 18	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
20	19	ancoms 453	. . . . . . . . 9
21	20	3adant1 1014	. . . . . . . 8
22	21	oveq2d 6312	. . . . . . 7
23		mulcl 9597	. . . . . . . . 9
24		negsub 9890	. . . . . . . . 9
25	23, 24	sylan2 474	. . . . . . . 8
26	25	3impb 1192	. . . . . . 7
27	22, 26	eqtrd 2498	. . . . . 6
28	6, 8, 15, 27	syl3anc 1228	. . . . 5
29	4, 28	eqtr4d 2501	. . . 4
30	29	oveq2d 6312	. . 3
31	14	znegcld 10996	. . . 4
32		nnz 10911	. . . . 5
33	32	adantl 466	. . . 4
34		simpl 457	. . . 4
35		gcdaddm 14167	. . . 4
36	31, 33, 34, 35	syl3anc 1228	. . 3
37	30, 36	eqtr4d 2501	. 2
38		zmodcl 12015	. . . 4
39	38	nn0zd 10992	. . 3
40		gcdcom 14158	. . 3
41	33, 39, 40	syl2anc 661	. 2
42		gcdcom 14158	. . 3
43	33, 34, 42	syl2anc 661	. 2
44	37, 41, 43	3eqtr3d 2506	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828  -ucneg 9829  cdiv 10231  cn 10561  cz 10889  crp 11249  cfl 11927  cmo 11996  cgcd 14144

This theorem is referenced by:  eucalginv  14213  phimullem  14309  eulerthlem1  14311  pockthlem  14423  gcdmodi  14560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145