MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modid Unicode version

Theorem modid 12020
Description: Identity law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
modid

Proof of Theorem modid
StepHypRef Expression
1 modval 11998 . . 3
21adantr 465 . 2
3 rerpdivcl 11276 . . . . . . . . . 10
43adantr 465 . . . . . . . . 9
54recnd 9643 . . . . . . . 8
6 addid2 9784 . . . . . . . . 9
76fveq2d 5875 . . . . . . . 8
85, 7syl 16 . . . . . . 7
9 rpregt0 11262 . . . . . . . . . . 11
10 divge0 10436 . . . . . . . . . . 11
119, 10sylan2 474 . . . . . . . . . 10
1211an32s 804 . . . . . . . . 9
1312adantrr 716 . . . . . . . 8
14 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
15 rpcn 11257 . . . . . . . . . . . . 13
1615mulid1d 9634 . . . . . . . . . . . 12
1716adantr 465 . . . . . . . . . . 11
1814, 17breqtrrd 4478 . . . . . . . . . 10
1918ad2ant2l 745 . . . . . . . . 9
20 simpll 753 . . . . . . . . . 10
219ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
22 1re 9616 . . . . . . . . . . 11
23 ltdivmul 10442 . . . . . . . . . . 11
2422, 23mp3an2 1312 . . . . . . . . . 10
2520, 21, 24syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2619, 25mpbird 232 . . . . . . . 8
27 0z 10900 . . . . . . . . 9
28 flbi2 11953 . . . . . . . . 9
2927, 4, 28sylancr 663 . . . . . . . 8
3013, 26, 29mpbir2and 922 . . . . . . 7
318, 30eqtr3d 2500 . . . . . 6
3231oveq2d 6312 . . . . 5
3315mul01d 9800 . . . . . 6
3433ad2antlr 726 . . . . 5
3532, 34eqtrd 2498 . . . 4
3635oveq2d 6312 . . 3
37 recn 9603 . . . . 5
3837subid1d 9943 . . . 4
3938ad2antrr 725 . . 3
4036, 39eqtrd 2498 . 2
412, 40eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cz 10889   crp 11249   cfl 11927   cmo 11996
This theorem is referenced by:  modid2  12023  0mod  12027  1mod  12028  modabs  12029  addmodid  12036  modltm1p1mod  12039  2submod  12048  modifeq2int  12049  modaddmodlo  12051  modsubdir  12055  digit1  12300  cshwidxm1  12777  bitsinv1  14092  sadaddlem  14116  sadasslem  14120  sadeq  14122  crt  14308  eulerthlem2  14312  prmdiveq  14316  modprm0  14330  4sqlem12  14474  dfod2  16586  znf1o  18590  wilthlem1  23342  ppiub  23479  lgslem1  23571  lgsdir2lem1  23598  lgsdirprm  23604  lgsqrlem2  23617  lgseisenlem1  23624  lgseisenlem2  23625  lgseisen  23628  m1lgs  23637  2sqlem11  23650  sqwvfoura  32011  sqwvfourb  32012  fourierswlem  32013  fouriersw  32014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997
  Copyright terms: Public domain W3C validator