MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modlt Unicode version

Theorem modlt 12006
Description: The modulo operation is less than its second argument. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modlt

Proof of Theorem modlt
StepHypRef Expression
1 recn 9603 . . . . 5
2 rpcnne0 11266 . . . . 5
3 divcan2 10240 . . . . . 6
433expb 1197 . . . . 5
51, 2, 4syl2an 477 . . . 4
65oveq1d 6311 . . 3
7 rpcn 11257 . . . . 5
87adantl 466 . . . 4
9 rerpdivcl 11276 . . . . 5
109recnd 9643 . . . 4
11 refldivcl 11957 . . . . 5
1211recnd 9643 . . . 4
138, 10, 12subdid 10037 . . 3
14 modval 11998 . . 3
156, 13, 143eqtr4rd 2509 . 2
16 fraclt1 11939 . . . . 5
179, 16syl 16 . . . 4
18 divid 10259 . . . . . 6
192, 18syl 16 . . . . 5
2019adantl 466 . . . 4
2117, 20breqtrrd 4478 . . 3
229, 11resubcld 10012 . . . 4
23 rpre 11255 . . . . 5
2423adantl 466 . . . 4
25 rpregt0 11262 . . . . 5
2625adantl 466 . . . 4
27 ltmuldiv2 10441 . . . 4
2822, 24, 26, 27syl3anc 1228 . . 3
2921, 28mpbird 232 . 2
3015, 29eqbrtrd 4472 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649   cmin 9828   cdiv 10231   crp 11249   cfl 11927   cmo 11996
This theorem is referenced by:  zmodfz  12017  modid2  12023  modabs  12029  modaddmodup  12050  modsubdir  12055  digit1  12300  cshwidxmod  12774  repswcshw  12780  divalgmod  14064  bitsmod  14086  bitsinv1lem  14091  bezoutlem3  14178  eucalglt  14214  odzdvds  14322  fldivp1  14416  4sqlem6  14461  4sqlem12  14474  mndodcong  16566  oddvds  16571  gexdvds  16604  zringlpirlem3  18511  zlpirlem3  18516  sineq0  22914  efif1olem2  22930  lgseisenlem1  23624  modelico  30757  irrapxlem1  30758  pellfund14  30834  jm2.19  30935  fourierswlem  32013  fouriersw  32014  sineq0ALT  33737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997
  Copyright terms: Public domain W3C validator