Theorem modmul1 12040

Description: Multiplication property of the modulo operation. Note that the multiplier must be an integer. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modmul1

Proof of Theorem modmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modval 11998	. . . . . . . 8
2		modval 11998	. . . . . . . 8
3	1, 2	eqeqan12d 2480	. . . . . . 7
4	3	anandirs 831	. . . . . 6
5	4	adantrl 715	. . . . 5
6		oveq1 6303	. . . . 5
7	5, 6	syl6bi 228	. . . 4
8		rpcn 11257	. . . . . . . . . . 11
9	8	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10
10		zcn 10894	. . . . . . . . . . 11
11	10	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10
12		rerpdivcl 11276	. . . . . . . . . . . . 13
13	12	flcld 11935	. . . . . . . . . . . 12
14	13	zcnd 10995	. . . . . . . . . . 11
15	14	adantrl 715	. . . . . . . . . 10
16	9, 11, 15	mulassd 9640	. . . . . . . . 9
17	9, 11, 15	mul32d 9811	. . . . . . . . 9
18	16, 17	eqtr3d 2500	. . . . . . . 8
19	18	oveq2d 6312	. . . . . . 7
20		recn 9603	. . . . . . . . 9
21	20	adantr 465	. . . . . . . 8
22	8	adantl 466	. . . . . . . . . 10
23	22, 14	mulcld 9637	. . . . . . . . 9
24	23	adantrl 715	. . . . . . . 8
25	21, 24, 11	subdird 10038	. . . . . . 7
26	19, 25	eqtr4d 2501	. . . . . 6
27	26	adantlr 714	. . . . 5
28	8	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10
29	10	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10
30		rerpdivcl 11276	. . . . . . . . . . . . 13
31	30	flcld 11935	. . . . . . . . . . . 12
32	31	zcnd 10995	. . . . . . . . . . 11
33	32	adantrl 715	. . . . . . . . . 10
34	28, 29, 33	mulassd 9640	. . . . . . . . 9
35	28, 29, 33	mul32d 9811	. . . . . . . . 9
36	34, 35	eqtr3d 2500	. . . . . . . 8
37	36	oveq2d 6312	. . . . . . 7
38		recn 9603	. . . . . . . . 9
39	38	adantr 465	. . . . . . . 8
40	8	adantl 466	. . . . . . . . . 10
41	40, 32	mulcld 9637	. . . . . . . . 9
42	41	adantrl 715	. . . . . . . 8
43	39, 42, 29	subdird 10038	. . . . . . 7
44	37, 43	eqtr4d 2501	. . . . . 6
45	44	adantll 713	. . . . 5
46	27, 45	eqeq12d 2479	. . . 4
47	7, 46	sylibrd 234	. . 3
48		oveq1 6303	. . . 4
49		zre 10893	. . . . . . . . 9
50		remulcl 9598	. . . . . . . . 9
51	49, 50	sylan2 474	. . . . . . . 8
52	51	adantrr 716	. . . . . . 7
53		simprr 757	. . . . . . 7
54		simprl 756	. . . . . . . 8
55	13	adantrl 715	. . . . . . . 8
56	54, 55	zmulcld 11000	. . . . . . 7
57		modcyc2 12032	. . . . . . 7
58	52, 53, 56, 57	syl3anc 1228	. . . . . 6
59	58	adantlr 714	. . . . 5
60		remulcl 9598	. . . . . . . . 9
61	49, 60	sylan2 474	. . . . . . . 8
62	61	adantrr 716	. . . . . . 7
63		simprr 757	. . . . . . 7
64		simprl 756	. . . . . . . 8
65	31	adantrl 715	. . . . . . . 8
66	64, 65	zmulcld 11000	. . . . . . 7
67		modcyc2 12032	. . . . . . 7
68	62, 63, 66, 67	syl3anc 1228	. . . . . 6
69	68	adantll 713	. . . . 5
70	59, 69	eqeq12d 2479	. . . 4
71	48, 70	syl5ib 219	. . 3
72	47, 71	syld 44	. 2
73	72	3impia 1193	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  cmul 9518  cmin 9828  cdiv 10231  cz 10889  crp 11249  cfl 11927  cmo 11996

This theorem is referenced by:  modmul12d  12041  modnegd  12042  modmulmod  12052  eulerthlem2  14312  fermltl  14314  odzdvds  14322  wilthlem2  23343  lgsdir2lem4  23601  lgsdirprm  23604  pellexlem6  30770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997