MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmul1 Unicode version

Theorem modmul1 12040
Description: Multiplication property of the modulo operation. Note that the multiplier must be an integer. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modmul1

Proof of Theorem modmul1
StepHypRef Expression
1 modval 11998 . . . . . . . 8
2 modval 11998 . . . . . . . 8
31, 2eqeqan12d 2480 . . . . . . 7
43anandirs 831 . . . . . 6
54adantrl 715 . . . . 5
6 oveq1 6303 . . . . 5
75, 6syl6bi 228 . . . 4
8 rpcn 11257 . . . . . . . . . . 11
98ad2antll 728 . . . . . . . . . 10
10 zcn 10894 . . . . . . . . . . 11
1110ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
12 rerpdivcl 11276 . . . . . . . . . . . . 13
1312flcld 11935 . . . . . . . . . . . 12
1413zcnd 10995 . . . . . . . . . . 11
1514adantrl 715 . . . . . . . . . 10
169, 11, 15mulassd 9640 . . . . . . . . 9
179, 11, 15mul32d 9811 . . . . . . . . 9
1816, 17eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
1918oveq2d 6312 . . . . . . 7
20 recn 9603 . . . . . . . . 9
2120adantr 465 . . . . . . . 8
228adantl 466 . . . . . . . . . 10
2322, 14mulcld 9637 . . . . . . . . 9
2423adantrl 715 . . . . . . . 8
2521, 24, 11subdird 10038 . . . . . . 7
2619, 25eqtr4d 2501 . . . . . 6
2726adantlr 714 . . . . 5
288ad2antll 728 . . . . . . . . . 10
2910ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
30 rerpdivcl 11276 . . . . . . . . . . . . 13
3130flcld 11935 . . . . . . . . . . . 12
3231zcnd 10995 . . . . . . . . . . 11
3332adantrl 715 . . . . . . . . . 10
3428, 29, 33mulassd 9640 . . . . . . . . 9
3528, 29, 33mul32d 9811 . . . . . . . . 9
3634, 35eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
3736oveq2d 6312 . . . . . . 7
38 recn 9603 . . . . . . . . 9
3938adantr 465 . . . . . . . 8
408adantl 466 . . . . . . . . . 10
4140, 32mulcld 9637 . . . . . . . . 9
4241adantrl 715 . . . . . . . 8
4339, 42, 29subdird 10038 . . . . . . 7
4437, 43eqtr4d 2501 . . . . . 6
4544adantll 713 . . . . 5
4627, 45eqeq12d 2479 . . . 4
477, 46sylibrd 234 . . 3
48 oveq1 6303 . . . 4
49 zre 10893 . . . . . . . . 9
50 remulcl 9598 . . . . . . . . 9
5149, 50sylan2 474 . . . . . . . 8
5251adantrr 716 . . . . . . 7
53 simprr 757 . . . . . . 7
54 simprl 756 . . . . . . . 8
5513adantrl 715 . . . . . . . 8
5654, 55zmulcld 11000 . . . . . . 7
57 modcyc2 12032 . . . . . . 7
5852, 53, 56, 57syl3anc 1228 . . . . . 6
5958adantlr 714 . . . . 5
60 remulcl 9598 . . . . . . . . 9
6149, 60sylan2 474 . . . . . . . 8
6261adantrr 716 . . . . . . 7
63 simprr 757 . . . . . . 7
64 simprl 756 . . . . . . . 8
6531adantrl 715 . . . . . . . 8
6664, 65zmulcld 11000 . . . . . . 7
67 modcyc2 12032 . . . . . . 7
6862, 63, 66, 67syl3anc 1228 . . . . . 6
6968adantll 713 . . . . 5
7059, 69eqeq12d 2479 . . . 4
7148, 70syl5ib 219 . . 3
7247, 71syld 44 . 2
73723impia 1193 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512   cmul 9518   cmin 9828   cdiv 10231   cz 10889   crp 11249   cfl 11927   cmo 11996
This theorem is referenced by:  modmul12d  12041  modnegd  12042  modmulmod  12052  eulerthlem2  14312  fermltl  14314  odzdvds  14322  wilthlem2  23343  lgsdir2lem4  23601  lgsdirprm  23604  pellexlem6  30770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997
  Copyright terms: Public domain W3C validator