Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modprm0 Unicode version

Theorem modprm0 14330
 Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modprm0
Distinct variable groups:   ,I   ,N   P,

Proof of Theorem modprm0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reumodprminv 14329 . . . 4
2 reurex 3074 . . . 4
3 prmz 14221 . . . . . . . . . . 11
433ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
54adantl 466 . . . . . . . . 9
6 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . 11
76adantr 465 . . . . . . . . . 10
8 elfzoelz 11829 . . . . . . . . . . 11
983ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10
10 zmulcl 10937 . . . . . . . . . 10
117, 9, 10syl2an 477 . . . . . . . . 9
125, 11zsubcld 10999 . . . . . . . 8
13 prmnn 14220 . . . . . . . . . 10
14133ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
1514adantl 466 . . . . . . . 8
16 zmodfzo 12018 . . . . . . . 8
1712, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . 7
188zred 10994 . . . . . . . . . . 11
19183ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10
2019adantl 466 . . . . . . . . 9
2113nnred 10576 . . . . . . . . . . . 12
22213ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11
2322adantl 466 . . . . . . . . . 10
246zred 10994 . . . . . . . . . . . 12
2524adantr 465 . . . . . . . . . . 11
26 remulcl 9598 . . . . . . . . . . 11
2725, 19, 26syl2an 477 . . . . . . . . . 10
2823, 27resubcld 10012 . . . . . . . . 9
29 elfzoelz 11829 . . . . . . . . . . 11
30293ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10
3130adantl 466 . . . . . . . . 9
3213nnrpd 11284 . . . . . . . . . . 11
33323ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
3433adantl 466 . . . . . . . . 9
35 modaddmulmod 12053 . . . . . . . . 9
3620, 28, 31, 34, 35syl31anc 1231 . . . . . . . 8
3713nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . 13
38373ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12
3938adantl 466 . . . . . . . . . . 11
406zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . 13
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
428zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . 13
43423ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12
44 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . 12
4541, 43, 44syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
4629zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . 13
47463ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12
4847adantl 466 . . . . . . . . . . 11
4939, 45, 48subdird 10038 . . . . . . . . . 10
5049oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
5150oveq1d 6311 . . . . . . . 8
52 mulcom 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5337, 46, 52syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5453oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
55 modidmul0 12022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5629, 13, 55syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5754, 56eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16
58573adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
6041adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6143adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6260, 61, 48mul32d 9811 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
6429zred 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
65643ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
66 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6725, 65, 66syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
689adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 modmulmod 12052 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7067, 68, 34, 69syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
7163, 70eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14
7259, 71oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13
7372oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
74 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7521, 64, 74syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
76753adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14
7776adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
7865adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
7927, 78remulcld 9645 . . . . . . . . . . . . 13
80 modsubmodmod 12046 . . . . . . . . . . . . 13
8177, 79, 34, 80syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
82 mulcom 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8347, 40, 82syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8483oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8584eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8685biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8786impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8887imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8988oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9089oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
9291oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
9361mulid2d 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9493oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9532, 18anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96 elfzo2 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
97 eluz2 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
98 0red 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
99 1red 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
100 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10198, 99, 1003jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103 0le1 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
105104anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
106 letr 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
107102, 105, 106sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1081073adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10997, 108sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1101093ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
111 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
112110, 111jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11396, 112sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
114113adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11595, 114jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1161153adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117116adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118 modid 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12094, 119eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15
121120oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
122121oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
12392, 122eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
12473, 81, 1233eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . 11
125124oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
126125oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
12777, 79resubcld 10012 . . . . . . . . . 10
128 modadd2mod 12037 . . . . . . . . . 10
129127, 20, 34, 128syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
130 0red 9618 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131130, 18resubcld 10012 . . . . . . . . . . . . . . 15
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
13318adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
13432adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
135132, 133, 1343jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13
1361353adant2 1015 . . . . . . . . . . . 12
137136adantl 466 . . . . . . . . . . 11
138 modadd2mod 12037 . . . . . . . . . . 11
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . 10
140 0cnd 9610 . . . . . . . . . . . . . 14
14142, 140pncan3d 9957 . . . . . . . . . . . . 13
1421413ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12
143142adantl 466 . . . . . . . . . . 11
144143oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
145 0mod 12027 . . . . . . . . . . . . 13
14632, 145syl 16 . . . . . . . . . . . 12
1471463ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11
148147adantl 466 . . . . . . . . . 10
149139, 144, 1483eqtrd 2502 . . . . . . . . 9
150126, 129, 1493eqtr3d 2506 . . . . . . . 8
15136, 51, 1503eqtrd 2502 . . . . . . 7
152 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
153152oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
154153oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
155154eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
156155rspcev 3210 . . . . . . 7
15717, 151, 156syl2anc 661 . . . . . 6
158157ex 434 . . . . 5
159158rexlimiva 2945 . . . 4
1601, 2, 1593syl 20 . . 3