MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsubdir Unicode version

Theorem modsubdir 12055
Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by NM, 30-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
modsubdir

Proof of Theorem modsubdir
StepHypRef Expression
1 modcl 12000 . . . 4
213adant2 1015 . . 3
3 modcl 12000 . . . 4
433adant1 1014 . . 3
52, 4subge0d 10167 . 2
6 resubcl 9906 . . . . . . . 8
763adant3 1016 . . . . . . 7
8 simp3 998 . . . . . . 7
9 rerpdivcl 11276 . . . . . . . . . 10
109flcld 11935 . . . . . . . . 9
11103adant2 1015 . . . . . . . 8
12 rerpdivcl 11276 . . . . . . . . . 10
1312flcld 11935 . . . . . . . . 9
14133adant1 1014 . . . . . . . 8
1511, 14zsubcld 10999 . . . . . . 7
16 modcyc2 12032 . . . . . . 7
177, 8, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . 6
18 recn 9603 . . . . . . . . . 10
19183ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
20 recn 9603 . . . . . . . . . 10
21203ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9
22 rpre 11255 . . . . . . . . . . . . 13
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
24 refldivcl 11957 . . . . . . . . . . . 12
2523, 24remulcld 9645 . . . . . . . . . . 11
2625recnd 9643 . . . . . . . . . 10
27263adant2 1015 . . . . . . . . 9
2822adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
29 refldivcl 11957 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29remulcld 9645 . . . . . . . . . . 11
3130recnd 9643 . . . . . . . . . 10
32313adant1 1014 . . . . . . . . 9
3319, 21, 27, 32sub4d 10003 . . . . . . . 8
34223ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . 11
3534recnd 9643 . . . . . . . . . 10
3624recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
37363adant2 1015 . . . . . . . . . 10
3829recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
39383adant1 1014 . . . . . . . . . 10
4035, 37, 39subdid 10037 . . . . . . . . 9
4140oveq2d 6312 . . . . . . . 8
42 modval 11998 . . . . . . . . . 10
43423adant2 1015 . . . . . . . . 9
44 modval 11998 . . . . . . . . . 10
45443adant1 1014 . . . . . . . . 9
4643, 45oveq12d 6314 . . . . . . . 8
4733, 41, 463eqtr4d 2508 . . . . . . 7
4847oveq1d 6311 . . . . . 6
4917, 48eqtr3d 2500 . . . . 5
5049adantr 465 . . . 4
512, 4resubcld 10012 . . . . . 6
5251adantr 465 . . . . 5
53 simpl3 1001 . . . . 5
54 simpr 461 . . . . 5
55 modge0 12005 . . . . . . . . 9
56553adant1 1014 . . . . . . . 8
572, 4subge02d 10169 . . . . . . . 8
5856, 57mpbid 210 . . . . . . 7
59 modlt 12006 . . . . . . . 8
60593adant2 1015 . . . . . . 7
6151, 2, 34, 58, 60lelttrd 9761 . . . . . 6
6261adantr 465 . . . . 5
63 modid 12020 . . . . 5
6452, 53, 54, 62, 63syl22anc 1229 . . . 4
6550, 64eqtrd 2498 . . 3
66 modge0 12005 . . . . . 6
676, 66stoic3 1609 . . . . 5
6867adantr 465 . . . 4
69 simpr 461 . . . 4
7068, 69breqtrd 4476 . . 3
7165, 70impbida 832 . 2
725, 71bitr3d 255 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cz 10889   crp 11249   cfl 11927   cmo 11996
This theorem is referenced by:  modeqmodmin  12056  digit1  12300  4sqlem12  14474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997
  Copyright terms: Public domain W3C validator