MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  monoord Unicode version

Theorem monoord 12137
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, increasing case. (Contributed by NM, 13-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord.1
monoord.2
monoord.3
Assertion
Ref Expression
monoord
Distinct variable groups:   ,   ,M   ,N   ,

Proof of Theorem monoord
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord.1 . . 3
2 eluzfz2 11723 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 eleq1 2529 . . . . . 6
5 fveq2 5871 . . . . . . 7
65breq2d 4464 . . . . . 6
74, 6imbi12d 320 . . . . 5
87imbi2d 316 . . . 4
9 eleq1 2529 . . . . . 6
10 fveq2 5871 . . . . . . 7
1110breq2d 4464 . . . . . 6
129, 11imbi12d 320 . . . . 5
1312imbi2d 316 . . . 4
14 eleq1 2529 . . . . . 6
15 fveq2 5871 . . . . . . 7
1615breq2d 4464 . . . . . 6
1714, 16imbi12d 320 . . . . 5
1817imbi2d 316 . . . 4
19 eleq1 2529 . . . . . 6
20 fveq2 5871 . . . . . . 7
2120breq2d 4464 . . . . . 6
2219, 21imbi12d 320 . . . . 5
2322imbi2d 316 . . . 4
24 eluzfz1 11722 . . . . . . . . 9
251, 24syl 16 . . . . . . . 8
26 monoord.2 . . . . . . . . 9
2726ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
28 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
2928eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
3029rspcv 3206 . . . . . . . 8
3125, 27, 30sylc 60 . . . . . . 7
3231leidd 10144 . . . . . 6
3332a1d 25 . . . . 5
3433a1i 11 . . . 4
35 simprl 756 . . . . . . . . . 10
36 simprr 757 . . . . . . . . . 10
37 peano2fzr 11728 . . . . . . . . . 10
3835, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . 9
3938expr 615 . . . . . . . 8
4039imim1d 75 . . . . . . 7
41 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . . 14
4235, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
43 elfzuz3 11714 . . . . . . . . . . . . . 14
4436, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
45 eluzp1m1 11133 . . . . . . . . . . . . 13
4642, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
47 elfzuzb 11711 . . . . . . . . . . . 12
4835, 46, 47sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11
49 monoord.3 . . . . . . . . . . . . 13
5049ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12
5150adantr 465 . . . . . . . . . . 11
52 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
53 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
5453fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
5552, 54breq12d 4465 . . . . . . . . . . . 12
5655rspcv 3206 . . . . . . . . . . 11
5748, 51, 56sylc 60 . . . . . . . . . 10
5831adantr 465 . . . . . . . . . . 11
5927adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
6052eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
6160rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12
6238, 59, 61sylc 60 . . . . . . . . . . 11
63 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
6463eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
6564rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12
6636, 59, 65sylc 60 . . . . . . . . . . 11
67 letr 9699 . . . . . . . . . . 11
6858, 62, 66, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
6957, 68mpan2d 674 . . . . . . . . 9
7069expr 615 . . . . . . . 8
7170a2d 26 . . . . . . 7
7240, 71syld 44 . . . . . 6
7372expcom 435 . . . . 5
7473a2d 26 . . . 4
758, 13, 18, 23, 34, 74uzind4 11168 . . 3
761, 75mpcom 36 . 2
773, 76mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   cle 9650   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701
This theorem is referenced by:  monoord2  12138  sermono  12139  climub  13484  isercolllem1  13487  climsup  13492  dvfsumlem3  22429  emcllem7  23331  lmdvg  27935  monoords  31496  iblspltprt  31772  itgspltprt  31778  fourierdlem11  31900  fourierdlem12  31901  fourierdlem15  31904  fourierdlem50  31939  fourierdlem79  31968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702
  Copyright terms: Public domain W3C validator