Theorem monoord2 12138

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord2.1
monoord2.2
monoord2.3

Assertion

Ref	Expression
monoord2

Distinct variable groups:   ,   ,M   ,N   ,

Proof of Theorem monoord2

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord2.1	. . . 4
2		monoord2.2	. . . . . . 7
3	2	renegcld 10011	. . . . . 6
4		eqid 2457	. . . . . 6
5	3, 4	fmptd 6055	. . . . 5
6	5	ffvelrnda 6031	. . . 4
7		monoord2.3	. . . . . . . . 9
8	7	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8
9		oveq1 6303	. . . . . . . . . . 11
10	9	fveq2d 5875	. . . . . . . . . 10
11		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
12	10, 11	breq12d 4465	. . . . . . . . 9
13	12	cbvralv 3084	. . . . . . . 8
14	8, 13	sylib 196	. . . . . . 7
15	14	r19.21bi 2826	. . . . . 6
16		fzp1elp1 11762	. . . . . . . . . 10
17	16	adantl 466	. . . . . . . . 9
18		eluzelz 11119	. . . . . . . . . . . . . 14
19	1, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
20	19	zcnd 10995	. . . . . . . . . . . 12
21		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . . 12
22		npcan 9852	. . . . . . . . . . . 12
23	20, 21, 22	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11
24	23	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10
25	24	adantr 465	. . . . . . . . 9
26	17, 25	eleqtrd 2547	. . . . . . . 8
27	2	ralrimiva 2871	. . . . . . . . 9
28	27	adantr 465	. . . . . . . 8
29		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
30	29	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
31	30	rspcv 3206	. . . . . . . 8
32	26, 28, 31	sylc 60	. . . . . . 7
33		fzssp1 11755	. . . . . . . . . 10
34	33, 24	syl5sseq 3551	. . . . . . . . 9
35	34	sselda 3503	. . . . . . . 8
36	11	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
37	36	rspcv 3206	. . . . . . . 8
38	35, 28, 37	sylc 60	. . . . . . 7
39	32, 38	lenegd 10156	. . . . . 6
40	15, 39	mpbid 210	. . . . 5
41	11	negeqd 9837	. . . . . . 7
42		negex 9841	. . . . . . 7
43	41, 4, 42	fvmpt 5956	. . . . . 6
44	35, 43	syl 16	. . . . 5
45	29	negeqd 9837	. . . . . . 7
46		negex 9841	. . . . . . 7
47	45, 4, 46	fvmpt 5956	. . . . . 6
48	26, 47	syl 16	. . . . 5
49	40, 44, 48	3brtr4d 4482	. . . 4
50	1, 6, 49	monoord 12137	. . 3
51		eluzfz1 11722	. . . . 5
52	1, 51	syl 16	. . . 4
53		fveq2 5871	. . . . . 6
54	53	negeqd 9837	. . . . 5
55		negex 9841	. . . . 5
56	54, 4, 55	fvmpt 5956	. . . 4
57	52, 56	syl 16	. . 3
58		eluzfz2 11723	. . . . 5
59	1, 58	syl 16	. . . 4
60		fveq2 5871	. . . . . 6
61	60	negeqd 9837	. . . . 5
62		negex 9841	. . . . 5
63	61, 4, 62	fvmpt 5956	. . . 4
64	59, 63	syl 16	. . 3
65	50, 57, 64	3brtr3d 4481	. 2
66	60	eleq1d 2526	. . . . 5
67	66	rspcv 3206	. . . 4
68	59, 27, 67	sylc 60	. . 3
69	53	eleq1d 2526	. . . . 5
70	69	rspcv 3206	. . . 4
71	52, 27, 70	sylc 60	. . 3
72	68, 71	lenegd 10156	. 2
73	65, 72	mpbird 232	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  1c1 9514  caddc 9516  cle 9650  cmin 9828  -ucneg 9829  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701

This theorem is referenced by:  iseraltlem1  13504  climcndslem1  13661  climcndslem2  13662  dvfsumlem3  22429  emcllem7  23331  climinf  31612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702