MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  monoord2 Unicode version

Theorem monoord2 12138
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2.1
monoord2.2
monoord2.3
Assertion
Ref Expression
monoord2
Distinct variable groups:   ,   ,M   ,N   ,

Proof of Theorem monoord2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2.1 . . . 4
2 monoord2.2 . . . . . . 7
32renegcld 10011 . . . . . 6
4 eqid 2457 . . . . . 6
53, 4fmptd 6055 . . . . 5
65ffvelrnda 6031 . . . 4
7 monoord2.3 . . . . . . . . 9
87ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
9 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
109fveq2d 5875 . . . . . . . . . 10
11 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
1210, 11breq12d 4465 . . . . . . . . 9
1312cbvralv 3084 . . . . . . . 8
148, 13sylib 196 . . . . . . 7
1514r19.21bi 2826 . . . . . 6
16 fzp1elp1 11762 . . . . . . . . . 10
1716adantl 466 . . . . . . . . 9
18 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . . 14
191, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
2019zcnd 10995 . . . . . . . . . . . 12
21 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . 12
22 npcan 9852 . . . . . . . . . . . 12
2320, 21, 22sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
2423oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
2524adantr 465 . . . . . . . . 9
2617, 25eleqtrd 2547 . . . . . . . 8
272ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9
2827adantr 465 . . . . . . . 8
29 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
3029eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
3130rspcv 3206 . . . . . . . 8
3226, 28, 31sylc 60 . . . . . . 7
33 fzssp1 11755 . . . . . . . . . 10
3433, 24syl5sseq 3551 . . . . . . . . 9
3534sselda 3503 . . . . . . . 8
3611eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
3736rspcv 3206 . . . . . . . 8
3835, 28, 37sylc 60 . . . . . . 7
3932, 38lenegd 10156 . . . . . 6
4015, 39mpbid 210 . . . . 5
4111negeqd 9837 . . . . . . 7
42 negex 9841 . . . . . . 7
4341, 4, 42fvmpt 5956 . . . . . 6
4435, 43syl 16 . . . . 5
4529negeqd 9837 . . . . . . 7
46 negex 9841 . . . . . . 7
4745, 4, 46fvmpt 5956 . . . . . 6
4826, 47syl 16 . . . . 5
4940, 44, 483brtr4d 4482 . . . 4
501, 6, 49monoord 12137 . . 3
51 eluzfz1 11722 . . . . 5
521, 51syl 16 . . . 4
53 fveq2 5871 . . . . . 6
5453negeqd 9837 . . . . 5
55 negex 9841 . . . . 5
5654, 4, 55fvmpt 5956 . . . 4
5752, 56syl 16 . . 3
58 eluzfz2 11723 . . . . 5
591, 58syl 16 . . . 4
60 fveq2 5871 . . . . . 6
6160negeqd 9837 . . . . 5
62 negex 9841 . . . . 5
6361, 4, 62fvmpt 5956 . . . 4
6459, 63syl 16 . . 3
6550, 57, 643brtr3d 4481 . 2
6660eleq1d 2526 . . . . 5
6766rspcv 3206 . . . 4
6859, 27, 67sylc 60 . . 3
6953eleq1d 2526 . . . . 5
7069rspcv 3206 . . . 4
7152, 27, 70sylc 60 . . 3
7268, 71lenegd 10156 . 2
7365, 72mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   cle 9650   cmin 9828  -ucneg 9829   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701
This theorem is referenced by:  iseraltlem1  13504  climcndslem1  13661  climcndslem2  13662  dvfsumlem3  22429  emcllem7  23331  climinf  31612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702
  Copyright terms: Public domain W3C validator