Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) → 𝐶 ∈ ℤ ) |
2 |
|
dvdszrcl |
⊢ ( 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) → ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℤ ) ) |
3 |
2
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) → ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℤ ) ) |
4 |
3
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
5 |
|
bezout |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ) → ∃ 𝑥 ∈ ℤ ∃ 𝑦 ∈ ℤ ( 𝐶 gcd 𝐴 ) = ( ( 𝐶 · 𝑥 ) + ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) |
6 |
1 4 5
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ℤ ∃ 𝑦 ∈ ℤ ( 𝐶 gcd 𝐴 ) = ( ( 𝐶 · 𝑥 ) + ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) |
7 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
8 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐵 ∈ ℤ ) |
9 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐶 ∈ ℤ ) |
10 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝑥 ∈ ℤ ) |
11 |
9 10
|
zmulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐶 · 𝑥 ) ∈ ℤ ) |
12 |
8 11
|
zmulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐵 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) ∈ ℤ ) |
13 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝑦 ∈ ℤ ) |
14 |
7 13
|
zmulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐴 · 𝑦 ) ∈ ℤ ) |
15 |
8 14
|
zmulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐵 · ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ∈ ℤ ) |
16 |
8 9
|
zmulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℤ ) |
17 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) |
18 |
7 16 10 17
|
dvdsmultr1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐴 ∥ ( ( 𝐵 · 𝐶 ) · 𝑥 ) ) |
19 |
8
|
zcnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
20 |
9
|
zcnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
21 |
10
|
zcnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
22 |
19 20 21
|
mulassd |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐵 · 𝐶 ) · 𝑥 ) = ( 𝐵 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) ) |
23 |
18 22
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) ) |
24 |
8 13
|
zmulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐵 · 𝑦 ) ∈ ℤ ) |
25 |
|
dvdsmul1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐵 · 𝑦 ) ∈ ℤ ) → 𝐴 ∥ ( 𝐴 · ( 𝐵 · 𝑦 ) ) ) |
26 |
7 24 25
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐴 · ( 𝐵 · 𝑦 ) ) ) |
27 |
7
|
zcnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
28 |
13
|
zcnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
29 |
19 27 28
|
mul12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐵 · ( 𝐴 · 𝑦 ) ) = ( 𝐴 · ( 𝐵 · 𝑦 ) ) ) |
30 |
26 29
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) |
31 |
|
dvds2add |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐵 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐵 · ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) → 𝐴 ∥ ( ( 𝐵 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ) ) |
32 |
31
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐵 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐵 · ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ) → 𝐴 ∥ ( ( 𝐵 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ) |
33 |
7 12 15 23 30 32
|
syl32anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐴 ∥ ( ( 𝐵 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ) |
34 |
11
|
zcnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐶 · 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
35 |
14
|
zcnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐴 · 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
36 |
19 34 35
|
adddid |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐵 · ( ( 𝐶 · 𝑥 ) + ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) = ( ( 𝐵 · ( 𝐶 · 𝑥 ) ) + ( 𝐵 · ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ) |
37 |
33 36
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( ( 𝐶 · 𝑥 ) + ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ) |
38 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( 𝐶 gcd 𝐴 ) = ( ( 𝐶 · 𝑥 ) + ( 𝐴 · 𝑦 ) ) → ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) = ( 𝐵 · ( ( 𝐶 · 𝑥 ) + ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ) |
39 |
38
|
breq2d |
⊢ ( ( 𝐶 gcd 𝐴 ) = ( ( 𝐶 · 𝑥 ) + ( 𝐴 · 𝑦 ) ) → ( 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ↔ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( ( 𝐶 · 𝑥 ) + ( 𝐴 · 𝑦 ) ) ) ) ) |
40 |
37 39
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐶 gcd 𝐴 ) = ( ( 𝐶 · 𝑥 ) + ( 𝐴 · 𝑦 ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) ) |
41 |
40
|
rexlimdvva |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ℤ ∃ 𝑦 ∈ ℤ ( 𝐶 gcd 𝐴 ) = ( ( 𝐶 · 𝑥 ) + ( 𝐴 · 𝑦 ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) ) |
42 |
6 41
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) |
43 |
|
dvdszrcl |
⊢ ( 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ∈ ℤ ) ) |
44 |
43
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ∈ ℤ ) ) |
45 |
44
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
46 |
44
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ∈ ℤ ) |
47 |
|
zmulcl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℤ ) |
48 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℤ ) |
49 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) |
50 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → 𝐶 ∈ ℤ ) |
51 |
|
gcddvds |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ∥ 𝐶 ∧ ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ∥ 𝐴 ) ) |
52 |
50 45 51
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ∥ 𝐶 ∧ ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ∥ 𝐴 ) ) |
53 |
52
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ∥ 𝐶 ) |
54 |
50 45
|
gcdcld |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ∈ ℕ0 ) |
55 |
54
|
nn0zd |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ∈ ℤ ) |
56 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → 𝐵 ∈ ℤ ) |
57 |
|
dvdscmul |
⊢ ( ( ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ∥ 𝐶 → ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) |
58 |
55 50 56 57
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ∥ 𝐶 → ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) |
59 |
53 58
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) |
60 |
|
dvdstr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ∧ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) |
61 |
60
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ∧ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) |
62 |
45 46 48 49 59 61
|
syl32anc |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ∧ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ) |
63 |
42 62
|
impbida |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ↔ 𝐴 ∥ ( 𝐵 · ( 𝐶 gcd 𝐴 ) ) ) ) |