Theorem ertrd

Description: A transitivity relation for equivalences. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	ersymb.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 Er 𝑋 )
	ertrd.5	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 𝑅 𝐵 )
	ertrd.6	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 𝑅 𝐶 )
Assertion	ertrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 𝑅 𝐶 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ersymb.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 Er 𝑋 )
2		ertrd.5	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 𝑅 𝐵 )
3		ertrd.6	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 𝑅 𝐶 )
4	1	ertr	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 𝑅 𝐵 ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) → 𝐴 𝑅 𝐶 ) )
5	2 3 4	mp2and	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 𝑅 𝐶 )