Theorem fprodm1

Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017)

	Ref	Expression
Hypotheses	fprodm1.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
	fprodm1.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
	fprodm1.3	⊢ ( 𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵 )
Assertion	fprodm1	⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = ( ∏ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 · 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodm1.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
2		fprodm1.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
3		fprodm1.3	⊢ ( 𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵 )
4		fzp1nel	⊢ ¬ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) )
5		eluzelz	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
6	1 5	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
7	6	zcnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ )
8		1cnd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ )
9	7 8	npcand	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
10	9	eleq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ 𝑁 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
11	4 10	mtbii	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
12		disjsn	⊢ ( ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
13	11 12	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ )
14		eluzel2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
15	1 14	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
16		peano2zm	⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ )
17	15 16	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ )
18	15	zcnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ )
19	18 8	npcand	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) = 𝑀 )
20	19	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
21	1 20	eleqtrrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) )
22		eluzp1m1	⊢ ( ( ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) )
23	17 21 22	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) )
24		fzsuc2	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) ) → ( 𝑀 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) } ) )
25	15 23 24	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) } ) )
26	9	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
27	9	sneqd	⊢ ( 𝜑 → { ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) } = { 𝑁 } )
28	27	uneq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) } ) = ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) )
29	25 26 28	3eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ... 𝑁 ) = ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) )
30		fzfid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∈ Fin )
31	13 29 30 2	fprodsplit	⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = ( ∏ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 · ∏ 𝑘 ∈ { 𝑁 } 𝐴 ) )
32	3	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑁 → ( 𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ ) )
33	2	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 ∈ ℂ )
34		eluzfz2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑁 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
35	1 34	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
36	32 33 35	rspcdva	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
37	3	prodsn	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ∏ 𝑘 ∈ { 𝑁 } 𝐴 = 𝐵 )
38	1 36 37	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑘 ∈ { 𝑁 } 𝐴 = 𝐵 )
39	38	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ∏ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 · ∏ 𝑘 ∈ { 𝑁 } 𝐴 ) = ( ∏ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 · 𝐵 ) )
40	31 39	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = ( ∏ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 · 𝐵 ) )