Theorem fprodrev

Description: Reversal of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	fprodshft.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ )
	fprodshft.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
	fprodshft.3	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
	fprodshft.4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
	fprodrev.5	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) → 𝐴 = 𝐵 )
Assertion	fprodrev	⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = ∏ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) 𝐵 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodshft.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ )
2		fprodshft.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
3		fprodshft.3	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
4		fprodshft.4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
5		fprodrev.5	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) → 𝐴 = 𝐵 )
6		fzfid	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∈ Fin )
7		ovex	⊢ ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ V
8		eqid	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) )
9	7 8	fnmpti	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) Fn ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) )
10	9	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) Fn ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) )
11		ovex	⊢ ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ V
12		eqid	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ ( 𝐾 − 𝑘 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ ( 𝐾 − 𝑘 ) )
13	11 12	fnmpti	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ ( 𝐾 − 𝑘 ) ) Fn ( 𝑀 ... 𝑁 )
14		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) )
15		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) )
16	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
17	3	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
18	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
19		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
20	19	ad2antrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
21		fzrev	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↔ ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) )
22	16 17 18 20 21	syl22anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↔ ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) )
23	15 22	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
24	14 23	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
25		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) → ( 𝐾 − 𝑘 ) = ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) )
26	25	ad2antll	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑘 ) = ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) )
27	1	zcnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ )
28	27	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℂ )
29	19	zcnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
30	29	ad2antrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
31	28 30	nncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) = 𝑗 )
32	26 31	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) )
33	24 32	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) )
34		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) )
35		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
36	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
37	3	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
38	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
39		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
40	39	ad2antrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
41		fzrev2	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) )
42	36 37 38 40 41	syl22anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) )
43	35 42	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) )
44	34 43	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) )
45		oveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) → ( 𝐾 − 𝑗 ) = ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑘 ) ) )
46	45	ad2antll	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑗 ) = ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑘 ) ) )
47	27	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℂ )
48	39	zcnd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℂ )
49	48	ad2antrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
50	47 49	nncand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑘 ) ) = 𝑘 )
51	46 50	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) )
52	44 51	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) )
53	33 52	impbida	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ↔ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) )
54	53	mptcnv	⊢ ( 𝜑 → ◡ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ ( 𝐾 − 𝑘 ) ) )
55	54	fneq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ◡ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) Fn ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ ( 𝐾 − 𝑘 ) ) Fn ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) )
56	13 55	mpbiri	⊢ ( 𝜑 → ◡ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) Fn ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
57		dff1o4	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) : ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) Fn ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ ◡ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) Fn ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) )
58	10 56 57	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) : ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
59		oveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐾 − 𝑗 ) = ( 𝐾 − 𝑘 ) )
60	59 8 11	fvmpt	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐾 − 𝑘 ) )
61	60	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐾 − 𝑘 ) )
62	5 6 58 61 4	fprodf1o	⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = ∏ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) 𝐵 )