Theorem grpsubsub4

Description: Double group subtraction ( subsub4 analog). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
	grpsubadd.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 )
	grpsubadd.m	⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 )
Assertion	grpsubsub4	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) = ( 𝑋 − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		grpsubadd.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 )
3		grpsubadd.m	⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 )
4		simpl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ Grp )
5	1 3	grpsubcl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
6	5	3adant3r3	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
7		simpr3	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
8	1 2 3	grpnpcan	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 − 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) + 𝑍 ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) )
9	4 6 7 8	syl3anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) + 𝑍 ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) )
10	9	oveq1d	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) + 𝑍 ) + 𝑌 ) = ( ( 𝑋 − 𝑌 ) + 𝑌 ) )
11	1 3	grpsubcl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 − 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
12	4 6 7 11	syl3anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
13		simpr2	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
14	1 2	grpass	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) + 𝑍 ) + 𝑌 ) = ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) + ( 𝑍 + 𝑌 ) ) )
15	4 12 7 13 14	syl13anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) + 𝑍 ) + 𝑌 ) = ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) + ( 𝑍 + 𝑌 ) ) )
16	1 2 3	grpnpcan	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 − 𝑌 ) + 𝑌 ) = 𝑋 )
17	16	3adant3r3	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑌 ) + 𝑌 ) = 𝑋 )
18	10 15 17	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) + ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = 𝑋 )
19		simpr1	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
20	1 2	grpcl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
21	4 7 13 20	syl3anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
22	1 2 3	grpsubadd	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑍 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) ↔ ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) + ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = 𝑋 ) )
23	4 19 21 12 22	syl13anc	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) ↔ ( ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) + ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = 𝑋 ) )
24	18 23	mpbird	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) )
25	24	eqcomd	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) = ( 𝑋 − ( 𝑍 + 𝑌 ) ) )