Theorem ltdiv1

Description: Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016)

	Ref	Expression
Assertion	ltdiv1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 / 𝐶 ) < ( 𝐵 / 𝐶 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
2		simp2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
3		simp3l	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
4		simp3r	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 0 < 𝐶 )
5	4	gt0ne0d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐶 ≠ 0 )
6	3 5	rereccld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 1 / 𝐶 ) ∈ ℝ )
7		recgt0	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) → 0 < ( 1 / 𝐶 ) )
8	7	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 0 < ( 1 / 𝐶 ) )
9		ltmul1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 / 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 1 / 𝐶 ) ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 · ( 1 / 𝐶 ) ) < ( 𝐵 · ( 1 / 𝐶 ) ) ) )
10	1 2 6 8 9	syl112anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 · ( 1 / 𝐶 ) ) < ( 𝐵 · ( 1 / 𝐶 ) ) ) )
11	1	recnd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
12	3	recnd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐶 ∈ ℂ )
13	11 12 5	divrecd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 / 𝐶 ) = ( 𝐴 · ( 1 / 𝐶 ) ) )
14	2	recnd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
15	14 12 5	divrecd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐵 / 𝐶 ) = ( 𝐵 · ( 1 / 𝐶 ) ) )
16	13 15	breq12d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) < ( 𝐵 / 𝐶 ) ↔ ( 𝐴 · ( 1 / 𝐶 ) ) < ( 𝐵 · ( 1 / 𝐶 ) ) ) )
17	10 16	bitr4d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 / 𝐶 ) < ( 𝐵 / 𝐶 ) ) )