Theorem ltmul1

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of Apostol p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016)

	Ref	Expression
Assertion	ltmul1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1a	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐴 < 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) )
2	1	ex	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 → ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
3		oveq1	⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) )
4	3	a1i	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )
5		ltmul1a	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) ∧ 𝐵 < 𝐴 ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) < ( 𝐴 · 𝐶 ) )
6	5	ex	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐵 < 𝐴 → ( 𝐵 · 𝐶 ) < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )
7	6	3com12	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐵 < 𝐴 → ( 𝐵 · 𝐶 ) < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )
8	4 7	orim12d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴 ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) ∨ ( 𝐵 · 𝐶 ) < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) ) )
9	8	con3d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ¬ ( ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) ∨ ( 𝐵 · 𝐶 ) < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) → ¬ ( 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴 ) ) )
10		simp1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
11		simp3l	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
12	10 11	remulcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
13		simp2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
14	13 11	remulcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
15	12 14	lttrid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ↔ ¬ ( ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) ∨ ( 𝐵 · 𝐶 ) < ( 𝐴 · 𝐶 ) ) ) )
16	10 13	lttrid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ ( 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴 ) ) )
17	9 15 16	3imtr4d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) → 𝐴 < 𝐵 ) )
18	2 17	impbid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 · 𝐶 ) < ( 𝐵 · 𝐶 ) ) )