Theorem lukshefth2

Description: Lemma for renicax . (Contributed by NM, 31-Jul-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	lukshefth2	⊢ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜏 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lukshef-ax1	⊢ ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜓 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) )
2		lukshef-ax1	⊢ ( ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜒 ) ⊼ ( ( 𝜓 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( 𝜓 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ) ) ) )
3	1 2	nic-mp	⊢ ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ) )
4		lukshefth1	⊢ ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜑 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜑 ) ) )
5		lukshef-ax1	⊢ ( ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ) ⊼ ( ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ 𝜑 ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ 𝜑 ) ) ) ) )
6		lukshef-ax1	⊢ ( ( ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ) ⊼ ( ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ 𝜑 ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ 𝜑 ) ) ) ) ) ⊼ ( ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜑 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜑 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜑 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ) ⊼ ( ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜑 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜑 ) ) ) ⊼ ( ( ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜑 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜑 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ) ) ) )
7	5 6	nic-mp	⊢ ( ( ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜑 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜑 ) ) ) ⊼ ( ( ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜑 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜑 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ) ) )
8	4 7	nic-mp	⊢ ( ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( ( 𝜓 ⊼ ( 𝜒 ⊼ 𝜑 ) ) ⊼ 𝜃 ) ) ) ⊼ ( ( ( 𝜏 ⊼ 𝜑 ) ⊼ ( ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜑 ⊼ 𝜏 ) ) ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ) )
9	3 8	nic-mp	⊢ ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) )
10		lukshef-ax1	⊢ ( ( 𝜃 ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜃 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ ( 𝜏 ⊼ 𝜏 ) ) ⊼ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜏 ) ) ) ) )
11	9 10	nic-mp	⊢ ( ( 𝜏 ⊼ 𝜃 ) ⊼ ( ( 𝜃 ⊼ 𝜏 ) ⊼ ( 𝜃 ⊼ 𝜏 ) ) )