Theorem modvalp1

Description: The value of the modulo operation (expressed with sum of denominator and nominator). (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018)

	Ref	Expression
Assertion	modvalp1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) + 1 ) · 𝐵 ) ) = ( 𝐴 mod 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ )
2	1	adantr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
3		refldivcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
4	3	recnd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ∈ ℂ )
5		rpcn	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ )
6	5	adantl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
7	4 6	mulcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) · 𝐵 ) ∈ ℂ )
8	2 7 6	pnpcan2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) · 𝐵 ) + 𝐵 ) ) = ( 𝐴 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) · 𝐵 ) ) )
9	4 6	adddirp1d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) + 1 ) · 𝐵 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) · 𝐵 ) + 𝐵 ) )
10	9	oveq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) + 1 ) · 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) · 𝐵 ) + 𝐵 ) ) )
11		modvalr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) = ( 𝐴 − ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) · 𝐵 ) ) )
12	8 10 11	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − ( ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) + 1 ) · 𝐵 ) ) = ( 𝐴 mod 𝐵 ) )