Theorem orddi

Description: Double distributive law for disjunction. (Contributed by NM, 12-Aug-1994)

	Ref	Expression
Assertion	orddi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∨ ( 𝜒 ∧ 𝜃 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜃 ) ) ∧ ( ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ∧ ( 𝜓 ∨ 𝜃 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordir	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∨ ( 𝜒 ∧ 𝜃 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜒 ∧ 𝜃 ) ) ∧ ( 𝜓 ∨ ( 𝜒 ∧ 𝜃 ) ) ) )
2		ordi	⊢ ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜒 ∧ 𝜃 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜃 ) ) )
3		ordi	⊢ ( ( 𝜓 ∨ ( 𝜒 ∧ 𝜃 ) ) ↔ ( ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ∧ ( 𝜓 ∨ 𝜃 ) ) )
4	2 3	anbi12i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜒 ∧ 𝜃 ) ) ∧ ( 𝜓 ∨ ( 𝜒 ∧ 𝜃 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜃 ) ) ∧ ( ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ∧ ( 𝜓 ∨ 𝜃 ) ) ) )
5	1 4	bitri	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∨ ( 𝜒 ∧ 𝜃 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜃 ) ) ∧ ( ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ∧ ( 𝜓 ∨ 𝜃 ) ) ) )