Theorem seqm1

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013)

	Ref	Expression
Assertion	seqm1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝑁 ) = ( ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) + ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzp1m1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
2		seqp1	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) + ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) ) )
3	1 2	syl	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) + ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) ) )
4		eluzelcn	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ )
5		ax-1cn	⊢ 1 ∈ ℂ
6		npcan	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
7	4 5 6	sylancl	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
8	7	adantl	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
9	8	fveq2d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝑁 ) )
10	8	fveq2d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) )
11	10	oveq2d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) + ( 𝐹 ‘ ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) + ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) )
12	3 9 11	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑀 + 1 ) ) ) → ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ‘ 𝑁 ) = ( ( seq 𝑀 ( + , 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) + ( 𝐹 ‘ 𝑁 ) ) )