Theorem soinxp

Description: Intersection of total order with Cartesian product of its field. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2014)

	Ref	Expression
Assertion	soinxp	⊢ ( 𝑅 Or 𝐴 ↔ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) Or 𝐴 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poinxp	⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 ↔ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) Po 𝐴 )
2		brinxp	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ) )
3		biidd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) )
4		brinxp	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) )
5	4	ancoms	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) )
6	2 3 5	3orbi123d	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ↔ ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) ) )
7	6	ralbidva	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) ) )
8	7	ralbiia	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) )
9	1 8	anbi12i	⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) Po 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) ) )
10		df-so	⊢ ( 𝑅 Or 𝐴 ↔ ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )
11		df-so	⊢ ( ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) Or 𝐴 ↔ ( ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) Po 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) 𝑥 ) ) )
12	9 10 11	3bitr4i	⊢ ( 𝑅 Or 𝐴 ↔ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) Or 𝐴 )