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Theorem mpt2curryd 7017
Description: The currying of an operation given in maps-to notation, splitting the operation (function of two arguments) into a function of the first argument, producing a function over the second argument. (Contributed by AV, 27-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mpt2curryd.f
mpt2curryd.c
mpt2curryd.n
Assertion
Ref Expression
mpt2curryd
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem mpt2curryd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cur 7015 . 2
2 mpt2curryd.c . . . . . . 7
3 mpt2curryd.f . . . . . . . 8
43dmmpt2ga 6872 . . . . . . 7
52, 4syl 16 . . . . . 6
65dmeqd 5210 . . . . 5
7 mpt2curryd.n . . . . . 6
8 dmxp 5226 . . . . . 6
97, 8syl 16 . . . . 5
106, 9eqtrd 2498 . . . 4
1110mpteq1d 4533 . . 3
12 df-mpt 4512 . . . . 5
133mpt2fun 6404 . . . . . . . 8
14 funbrfv2b 5917 . . . . . . . 8
1513, 14mp1i 12 . . . . . . 7
165adantr 465 . . . . . . . . . 10
1716eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
18 opelxp 5034 . . . . . . . . 9
1917, 18syl6bb 261 . . . . . . . 8
2019anbi1d 704 . . . . . . 7
21 an32 798 . . . . . . . . 9
22 ancom 450 . . . . . . . . 9
2321, 22bitri 249 . . . . . . . 8
24 ibar 504 . . . . . . . . . . . . 13
2524bicomd 201 . . . . . . . . . . . 12
2625adantl 466 . . . . . . . . . . 11
2726adantr 465 . . . . . . . . . 10
28 df-ov 6299 . . . . . . . . . . . . 13
29 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
30 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3331, 32nfcsb 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
34 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
35 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3735, 36sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3829, 30, 33, 34, 37cbvmpt2 6376 . . . . . . . . . . . . . . . 16
393, 38eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
4135eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241equcoms 1795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4342csbeq2dv 3835 . . . . . . . . . . . . . . . 16
44 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4544eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645equcoms 1795 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4743, 46sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
52 rsp2 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16
532, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453impl 620 . . . . . . . . . . . . . 14
5540, 48, 50, 51, 54ovmpt2d 6430 . . . . . . . . . . . . 13
5628, 55syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . 12
5756eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
58 eqcom 2466 . . . . . . . . . . 11
5957, 58syl6bb 261 . . . . . . . . . 10
6027, 59bitrd 253 . . . . . . . . 9
6160pm5.32da 641 . . . . . . . 8
6223, 61syl5bb 257 . . . . . . 7
6315, 20, 623bitrrd 280 . . . . . 6
6463opabbidv 4515 . . . . 5
6512, 64syl5req 2511 . . . 4
6665mpteq2dva 4538 . . 3
6711, 66eqtrd 2498 . 2
681, 67syl5eq 2510 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  [_csb 3434   c0 3784  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  Funwfun 5587  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  curryccur 7013
This theorem is referenced by:  mpt2curryvald  7018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-cur 7015
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