MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2sn Unicode version

Theorem mpt2sn 6891
Description: An operation (in maps-to notation) on two singletons. (Contributed by AV, 4-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mpt2sn.f
mpt2sn.a
mpt2sn.b
Assertion
Ref Expression
mpt2sn
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem mpt2sn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsng 6072 . . . 4
213adant3 1016 . . 3
32mpteq1d 4533 . 2
4 mpt2sn.f . . . 4
5 mpt2mpts 6864 . . . 4
64, 5eqtri 2486 . . 3
76a1i 11 . 2
8 op2ndg 6813 . . . . . . 7
9 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
109eqcomd 2465 . . . . . . . 8
1110eqeq1d 2459 . . . . . . 7
128, 11syl5ibcom 220 . . . . . 6
13123adant3 1016 . . . . 5
1413imp 429 . . . 4
15 op1stg 6812 . . . . . . 7
16 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
1716eqcomd 2465 . . . . . . . 8
1817eqeq1d 2459 . . . . . . 7
1915, 18syl5ibcom 220 . . . . . 6
20193adant3 1016 . . . . 5
2120imp 429 . . . 4
22 simp1 996 . . . . . . 7
23 simpl2 1000 . . . . . . . 8
24 mpt2sn.a . . . . . . . . . 10
2524adantl 466 . . . . . . . . 9
26 mpt2sn.b . . . . . . . . 9
2725, 26sylan9eq 2518 . . . . . . . 8
2823, 27csbied 3461 . . . . . . 7
2922, 28csbied 3461 . . . . . 6
3029adantr 465 . . . . 5
31 csbeq1 3437 . . . . . . . 8
3231eqeq1d 2459 . . . . . . 7
3332adantl 466 . . . . . 6
34 csbeq1 3437 . . . . . . . . 9
3534adantr 465 . . . . . . . 8
3635csbeq2dv 3835 . . . . . . 7
3736eqeq1d 2459 . . . . . 6
3833, 37bitrd 253 . . . . 5
3930, 38syl5ibrcom 222 . . . 4
4014, 21, 39mp2and 679 . . 3
41 opex 4716 . . . 4
4241a1i 11 . . 3
43 simp3 998 . . 3
4440, 42, 43fmptsnd 6093 . 2
453, 7, 443eqtr4d 2508 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  [_csb 3434  {csn 4029  <.cop 4035  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  `cfv 5593  e.cmpt2 6298   c1st 6798   c2nd 6799
This theorem is referenced by:  mat1dim0  18975  mat1dimid  18976  mat1dimmul  18978  d1mat2pmat  19240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801
  Copyright terms: Public domain W3C validator