Theorem mpt2sn 6891

Description: An operation (in maps-to notation) on two singletons. (Contributed by AV, 4-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpt2sn.f
mpt2sn.a
mpt2sn.b

Assertion

Ref	Expression
mpt2sn

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem mpt2sn

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsng 6072	. . . 4
2	1	3adant3 1016	. . 3
3	2	mpteq1d 4533	. 2
4		mpt2sn.f	. . . 4
5		mpt2mpts 6864	. . . 4
6	4, 5	eqtri 2486	. . 3
7	6	a1i 11	. 2
8		op2ndg 6813	. . . . . . 7
9		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
10	9	eqcomd 2465	. . . . . . . 8
11	10	eqeq1d 2459	. . . . . . 7
12	8, 11	syl5ibcom 220	. . . . . 6
13	12	3adant3 1016	. . . . 5
14	13	imp 429	. . . 4
15		op1stg 6812	. . . . . . 7
16		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
17	16	eqcomd 2465	. . . . . . . 8
18	17	eqeq1d 2459	. . . . . . 7
19	15, 18	syl5ibcom 220	. . . . . 6
20	19	3adant3 1016	. . . . 5
21	20	imp 429	. . . 4
22		simp1 996	. . . . . . 7
23		simpl2 1000	. . . . . . . 8
24		mpt2sn.a	. . . . . . . . . 10
25	24	adantl 466	. . . . . . . . 9
26		mpt2sn.b	. . . . . . . . 9
27	25, 26	sylan9eq 2518	. . . . . . . 8
28	23, 27	csbied 3461	. . . . . . 7
29	22, 28	csbied 3461	. . . . . 6
30	29	adantr 465	. . . . 5
31		csbeq1 3437	. . . . . . . 8
32	31	eqeq1d 2459	. . . . . . 7
33	32	adantl 466	. . . . . 6
34		csbeq1 3437	. . . . . . . . 9
35	34	adantr 465	. . . . . . . 8
36	35	csbeq2dv 3835	. . . . . . 7
37	36	eqeq1d 2459	. . . . . 6
38	33, 37	bitrd 253	. . . . 5
39	30, 38	syl5ibrcom 222	. . . 4
40	14, 21, 39	mp2and 679	. . 3
41		opex 4716	. . . 4
42	41	a1i 11	. . 3
43		simp3 998	. . 3
44	40, 42, 43	fmptsnd 6093	. 2
45	3, 7, 44	3eqtr4d 2508	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  [_csb 3434  {csn 4029  <.cop 4035  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  `cfv 5593  e.cmpt2 6298  c1st 6798  c2nd 6799

This theorem is referenced by:  mat1dim0  18975  mat1dimid  18976  mat1dimmul  18978  d1mat2pmat  19240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801