Theorem mptelixpg 7526

Description: Condition for an explicit member of an indexed product. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptelixpg

Distinct variable group:   ,I

Proof of Theorem mptelixpg

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3118	. 2
2		nfcv 2619	. . . . . 6
3		nfcsb1v 3450	. . . . . 6
4		csbeq1a 3443	. . . . . 6
5	2, 3, 4	cbvixp 7506	. . . . 5
6	5	eleq2i 2535	. . . 4
7		elixp2 7493	. . . 4
8		3anass 977	. . . 4
9	6, 7, 8	3bitri 271	. . 3
10		eqid 2457	. . . . . . . 8
11	10	fnmpt 5712	. . . . . . 7
12	10	fvmpt2 5963	. . . . . . . . 9
13		simpr 461	. . . . . . . . 9
14	12, 13	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8
15	14	ralimiaa 2849	. . . . . . 7
16	11, 15	jca 532	. . . . . 6
17		dffn2 5737	. . . . . . . 8
18	10	fmpt 6052	. . . . . . . . 9
19	10	fvmpt2 5963	. . . . . . . . . . . . 13
20	19	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . 12
21	20	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11
22	21	ralimiaa 2849	. . . . . . . . . 10
23		ralim 2846	. . . . . . . . . 10
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . 9
25	18, 24	sylbir 213	. . . . . . . 8
26	17, 25	sylbi 195	. . . . . . 7
27	26	imp 429	. . . . . 6
28	16, 27	impbii 188	. . . . 5
29		nfv 1707	. . . . . . 7
30		nffvmpt1 5879	. . . . . . . 8
31	30, 3	nfel 2632	. . . . . . 7
32		fveq2 5871	. . . . . . . 8
33	32, 4	eleq12d 2539	. . . . . . 7
34	29, 31, 33	cbvral 3080	. . . . . 6
35	34	anbi2i 694	. . . . 5
36	28, 35	bitri 249	. . . 4
37		mptexg 6142	. . . . 5
38	37	biantrurd 508	. . . 4
39	36, 38	syl5rbb 258	. . 3
40	9, 39	syl5bb 257	. 2
41	1, 40	syl 16	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  [_csb 3434  e.cmpt 4510  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  X_cixp 7489

This theorem is referenced by:  resixpfo  7527  ixpiunwdom  8038  dfac9  8537  prdsbasmpt  14867  prdsbasmpt2  14879  idfucl  15250  fuccocl  15333  fucidcl  15334  invfuc  15343  curf2cl  15500  yonedalem4c  15546  dprdwd  17044  ptpjopn  20113  dfac14lem  20118  ptcnplem  20122  ptcnp  20123  ptcn  20128  ptcmplem2  20553  tmdgsum2  20595  upixp  30220  kelac1  31009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ixp 7490