MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpteqb Unicode version

Theorem mpteqb 5970
Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnfv 5981. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpteqb
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem mpteqb
StepHypRef Expression
1 elex 3118 . . 3
21ralimi 2850 . 2
3 fneq1 5674 . . . . . . 7
4 eqid 2457 . . . . . . . 8
54mptfng 5711 . . . . . . 7
6 eqid 2457 . . . . . . . 8
76mptfng 5711 . . . . . . 7
83, 5, 73bitr4g 288 . . . . . 6
98biimpd 207 . . . . 5
10 r19.26 2984 . . . . . . 7
11 nfmpt1 4541 . . . . . . . . . 10
12 nfmpt1 4541 . . . . . . . . . 10
1311, 12nfeq 2630 . . . . . . . . 9
14 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12
1514fveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11
164fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . 12
1716ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . 11
186fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . 12
1918ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . 11
2015, 17, 193eqtr3d 2506 . . . . . . . . . 10
2120exp31 604 . . . . . . . . 9
2213, 21ralrimi 2857 . . . . . . . 8
23 ralim 2846 . . . . . . . 8
2422, 23syl 16 . . . . . . 7
2510, 24syl5bir 218 . . . . . 6
2625expd 436 . . . . 5
279, 26mpdd 40 . . . 4
2827com12 31 . . 3
29 eqid 2457 . . . 4
30 mpteq12 4531 . . . 4
3129, 30mpan 670 . . 3
3228, 31impbid1 203 . 2
332, 32syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  e.cmpt 4510  Fnwfn 5588  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  eqfnfv  5981  eufnfv  6146  offveqb  6562  ramcl  14547  fucsect  15341  setcepi  15415  0frgp  16797  dprdf11  17063  dprdf11OLD  17070  dpjeq  17108  dpjeqOLD  17115  mvrf1  18081  mplmonmul  18126  frgpcyg  18612  ustuqtop  20749  mdegle0  22477  ply1nzb  22523  cvmliftphtlem  28762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator