MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptfzshft Unicode version

Theorem mptfzshft 13593
Description: 1-1 onto function in maps-to notation which shifts a finite set of sequential integers. Formerly part of proof for fsumshft 13595. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptfzshft.1
mptfzshft.2
mptfzshft.3
Assertion
Ref Expression
mptfzshft
Distinct variable groups:   ,   ,M   ,N   ,

Proof of Theorem mptfzshft
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6324 . . . 4
2 eqid 2457 . . . 4
31, 2fnmpti 5714 . . 3
43a1i 11 . 2
5 ovex 6324 . . . 4
6 eqid 2457 . . . 4
75, 6fnmpti 5714 . . 3
8 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
98oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
10 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . . 12
1110ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11
12 mptfzshft.1 . . . . . . . . . . . 12
1312adantr 465 . . . . . . . . . . 11
14 zcn 10894 . . . . . . . . . . . 12
15 zcn 10894 . . . . . . . . . . . 12
16 npcan 9852 . . . . . . . . . . . 12
1714, 15, 16syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
1811, 13, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
199, 18eqtr2d 2499 . . . . . . . . 9
20 simprl 756 . . . . . . . . 9
2119, 20eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8
22 mptfzshft.2 . . . . . . . . . 10
2322adantr 465 . . . . . . . . 9
24 mptfzshft.3 . . . . . . . . . 10
2524adantr 465 . . . . . . . . 9
2611, 13zsubcld 10999 . . . . . . . . . 10
278, 26eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9
28 fzaddel 11747 . . . . . . . . 9
2923, 25, 27, 13, 28syl22anc 1229 . . . . . . . 8
3021, 29mpbird 232 . . . . . . 7
3130, 19jca 532 . . . . . 6
32 simprr 757 . . . . . . . 8
33 simprl 756 . . . . . . . . 9
3422adantr 465 . . . . . . . . . 10
3524adantr 465 . . . . . . . . . 10
36 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . 11
3736ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
3812adantr 465 . . . . . . . . . 10
3934, 35, 37, 38, 28syl22anc 1229 . . . . . . . . 9
4033, 39mpbid 210 . . . . . . . 8
4132, 40eqeltrd 2545 . . . . . . 7
4232oveq1d 6311 . . . . . . . 8
43 zcn 10894 . . . . . . . . . 10
44 pncan 9849 . . . . . . . . . 10
4543, 15, 44syl2an 477 . . . . . . . . 9
4637, 38, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8
4742, 46eqtr2d 2499 . . . . . . 7
4841, 47jca 532 . . . . . 6
4931, 48impbida 832 . . . . 5
5049mptcnv 5413 . . . 4
5150fneq1d 5676 . . 3
527, 51mpbiri 233 . 2
53 dff1o4 5829 . 2
544, 52, 53sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592  (class class class)co 6296   cc 9511   caddc 9516   cmin 9828   cz 10889   cfz 11701
This theorem is referenced by:  fsumshft  13595  fprodshft  13780  gsummptshft  16956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702
  Copyright terms: Public domain W3C validator