Theorem mptfzshft 13593

Description: 1-1 onto function in maps-to notation which shifts a finite set of sequential integers. Formerly part of proof for fsumshft 13595. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptfzshft.1
mptfzshft.2
mptfzshft.3

Assertion

Ref	Expression
mptfzshft

Distinct variable groups:   ,   ,M   ,N   ,

Proof of Theorem mptfzshft

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6324	. . . 4
2		eqid 2457	. . . 4
3	1, 2	fnmpti 5714	. . 3
4	3	a1i 11	. 2
5		ovex 6324	. . . 4
6		eqid 2457	. . . 4
7	5, 6	fnmpti 5714	. . 3
8		simprr 757	. . . . . . . . . . 11
9	8	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10
10		elfzelz 11717	. . . . . . . . . . . 12
11	10	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11
12		mptfzshft.1	. . . . . . . . . . . 12
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
14		zcn 10894	. . . . . . . . . . . 12
15		zcn 10894	. . . . . . . . . . . 12
16		npcan 9852	. . . . . . . . . . . 12
17	14, 15, 16	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
18	11, 13, 17	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
19	9, 18	eqtr2d 2499	. . . . . . . . 9
20		simprl 756	. . . . . . . . 9
21	19, 20	eqeltrrd 2546	. . . . . . . 8
22		mptfzshft.2	. . . . . . . . . 10
23	22	adantr 465	. . . . . . . . 9
24		mptfzshft.3	. . . . . . . . . 10
25	24	adantr 465	. . . . . . . . 9
26	11, 13	zsubcld 10999	. . . . . . . . . 10
27	8, 26	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9
28		fzaddel 11747	. . . . . . . . 9
29	23, 25, 27, 13, 28	syl22anc 1229	. . . . . . . 8
30	21, 29	mpbird 232	. . . . . . 7
31	30, 19	jca 532	. . . . . 6
32		simprr 757	. . . . . . . 8
33		simprl 756	. . . . . . . . 9
34	22	adantr 465	. . . . . . . . . 10
35	24	adantr 465	. . . . . . . . . 10
36		elfzelz 11717	. . . . . . . . . . 11
37	36	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10
38	12	adantr 465	. . . . . . . . . 10
39	34, 35, 37, 38, 28	syl22anc 1229	. . . . . . . . 9
40	33, 39	mpbid 210	. . . . . . . 8
41	32, 40	eqeltrd 2545	. . . . . . 7
42	32	oveq1d 6311	. . . . . . . 8
43		zcn 10894	. . . . . . . . . 10
44		pncan 9849	. . . . . . . . . 10
45	43, 15, 44	syl2an 477	. . . . . . . . 9
46	37, 38, 45	syl2anc 661	. . . . . . . 8
47	42, 46	eqtr2d 2499	. . . . . . 7
48	41, 47	jca 532	. . . . . 6
49	31, 48	impbida 832	. . . . 5
50	49	mptcnv 5413	. . . 4
51	50	fneq1d 5676	. . 3
52	7, 51	mpbiri 233	. 2
53		dff1o4 5829	. 2
54	4, 52, 53	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592  (class class class)co 6296  cc 9511  caddc 9516  cmin 9828  cz 10889  cfz 11701

This theorem is referenced by:  fsumshft  13595  fprodshft  13780  gsummptshft  16956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702