Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptnn0fsupp Unicode version

Theorem mptnn0fsupp 12103
 Description: A mapping from the nonnegative integers is finitely supported under certain conditions. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptnn0fsupp.0
mptnn0fsupp.c
mptnn0fsupp.s
Assertion
Ref Expression
mptnn0fsupp
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,,   ,,

Proof of Theorem mptnn0fsupp
StepHypRef Expression
1 mptnn0fsupp.c . . . . . 6
21ralrimiva 2871 . . . . 5
3 eqid 2457 . . . . . 6
43fnmpt 5712 . . . . 5
52, 4syl 16 . . . 4
6 nn0ex 10826 . . . . 5
76a1i 11 . . . 4
8 mptnn0fsupp.0 . . . . 5
9 elex 3118 . . . . 5
108, 9syl 16 . . . 4
11 suppvalfn 6925 . . . 4
125, 7, 10, 11syl3anc 1228 . . 3
13 mptnn0fsupp.s . . . . 5
14 nne 2658 . . . . . . . . 9
15 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
162ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
17 rspcsbela 3853 . . . . . . . . . . . 12
1815, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
193fvmpts 5958 . . . . . . . . . . 11
2015, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
2120eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
2214, 21syl5bb 257 . . . . . . . 8
2322imbi2d 316 . . . . . . 7
2423ralbidva 2893 . . . . . 6
2524rexbidva 2965 . . . . 5
2613, 25mpbird 232 . . . 4
27 rabssnn0fi 12095 . . . 4
2826, 27sylibr 212 . . 3
2912, 28eqeltrd 2545 . 2
30 funmpt 5629 . . . 4
3130a1i 11 . . 3
326mptex 6143 . . . 4
3332a1i 11 . . 3
34 funisfsupp 7854 . . 3
3531, 33, 10, 34syl3anc 1228 . 2
3629, 35mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  [_csb 3434   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  (class class class)co 6296   csupp 6918   cfn 7536   cfsupp 7849   clt 9649   cn0 10820 This theorem is referenced by:  mptnn0fsuppd  12104  mptcoe1fsupp  18255  mptcoe1matfsupp  19303  pm2mp  19326  chfacffsupp  19357  chfacfscmulfsupp  19360  chfacfpmmulfsupp  19364  cayhamlem4  19389  ply1mulgsumlem3  32988  ply1mulgsumlem4  32989 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702
 Copyright terms: Public domain W3C validator