MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mspropd Unicode version

Theorem mspropd 20448
Description: Property deduction for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmspropd.1
xmspropd.2
xmspropd.3
xmspropd.4
Assertion
Ref Expression
mspropd

Proof of Theorem mspropd
StepHypRef Expression
1 xmspropd.1 . . . 4
2 xmspropd.2 . . . 4
3 xmspropd.3 . . . 4
4 xmspropd.4 . . . 4
51, 2, 3, 4xmspropd 20447 . . 3
61, 1xpeq12d 4982 . . . . . . 7
76reseq2d 5227 . . . . . 6
83, 7eqtr3d 2497 . . . . 5
92, 2xpeq12d 4982 . . . . . 6
109reseq2d 5227 . . . . 5
118, 10eqtr3d 2497 . . . 4
121, 2eqtr3d 2497 . . . . 5
1312fveq2d 5817 . . . 4
1411, 13eleq12d 2536 . . 3
155, 14anbi12d 710 . 2
16 eqid 2454 . . 3
17 eqid 2454 . . 3
18 eqid 2454 . . 3
1916, 17, 18isms 20423 . 2
20 eqid 2454 . . 3
21 eqid 2454 . . 3
22 eqid 2454 . . 3
2320, 21, 22isms 20423 . 2
2415, 19, 233bitr4g 288 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  X.cxp 4955  |`cres 4959  `cfv 5537   cbs 14332   cds 14406   ctopn 14519   cme 17995   cxme 20291   cmt 20292
This theorem is referenced by:  ngppropd  20622  cmspropd  21259  zhmnrg  26853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4209  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-id 4753  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-res 4969  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fv 5545  df-top 18902  df-topon 18905  df-topsp 18906  df-xms 20294  df-ms 20295
  Copyright terms: Public domain W3C validator