Theorem mul02d 9799

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1

Assertion

Ref	Expression
mul02d

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2
2		mul02 9779	. 2
3	1, 2	syl 16	1

Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  cmul 9518

This theorem is referenced by:  mulneg1  10018  mulge0  10095  mul0or  10214  prodgt0  10412  un0mulcl  10855  lincmb01cmp  11692  iccf1o  11693  discr1  12302  discr  12303  hashxplem  12491  cshweqrep  12789  remul2  12963  immul2  12970  binomlem  13641  geomulcvg  13685  ntrivcvgfvn0  13708  fprodeq0  13779  efne0  13832  dvds0  13999  mulmoddvds  14044  smumullem  14142  mulgcd  14184  qnumgt0  14283  pcexp  14383  vdwapun  14492  vdwlem1  14499  mulgnn0ass  16171  odmulg  16578  torsubg  16860  isabvd  17469  nn0srg  18486  rge0srg  18487  prmirredlem  18523  prmirredlemOLD  18526  nmo0  21242  nmoeq0  21243  blcvx  21303  reparphti  21497  pcorevlem  21526  ipcau2  21677  rrxcph  21824  itg1addlem4  22106  itg1addlem5  22107  itg1mulc  22111  itg2mulc  22154  dvcmul  22347  dvmptcmul  22367  dvexp3  22379  dvef  22381  dveq0  22401  dv11cn  22402  ply1termlem  22600  plyeq0lem  22607  plypf1  22609  plyaddlem1  22610  plymullem1  22611  coeeulem  22621  coeidlem  22634  coeid3  22637  coemullem  22647  coemulhi  22651  coemulc  22652  dgrco  22672  vieta1lem2  22707  elqaalem2  22716  aalioulem3  22730  taylthlem2  22769  abelthlem6  22831  pilem2  22847  sinhalfpip  22885  sinhalfpim  22886  coshalfpip  22887  coshalfpim  22888  logtayl  23041  mulcxp  23066  cxpmul2  23070  cxpeq  23131  chordthmlem5  23167  cubic  23180  atans2  23262  atantayl2  23269  leibpi  23273  efrlim  23299  scvxcvx  23315  amgm  23320  ftalem5  23350  basellem2  23355  mumul  23455  muinv  23469  dchrn0  23525  dchrinvcl  23528  lgsdirnn0  23614  lgsdinn0  23615  lgsquad2lem2  23634  rpvmasumlem  23672  dchrisum0flblem1  23693  rpvmasum2  23697  ostth2lem2  23819  brbtwn2  24208  axsegconlem1  24220  axpaschlem  24243  axcontlem7  24273  axcontlem8  24274  nvz0  25571  ipasslem1  25746  hi01  26013  mul2lt0rgt0  27566  mul2lt0bi  27569  xrge0iifhom  27919  indsum  28036  eulerpartlemsv2  28297  eulerpartlems  28299  eulerpartlemsv3  28300  eulerpartlemgc  28301  eulerpartlemv  28303  eulerpartlemgs2  28319  sgnmul  28481  plymul02  28503  plymulx0  28504  subfacp1lem6  28629  cvxpcon  28687  cvxscon  28688  0fallfac  29159  binomfallfaclem2  29162  pell1234qrne0  30789  bezoutr1  30924  jm2.19lem3  30933  jm2.25  30941  flcidc  31123  radcnvrat  31195  lcmgcd  31213  dvconstbi  31239  binomcxplemnn0  31254  fperiodmullem  31503  fprodeq0g  31601  fprod0  31603  dvsinax  31708  dvasinbx  31717  ioodvbdlimc1lem2  31729  ioodvbdlimc2lem  31731  dvnxpaek  31739  dvnmul  31740  itgsinexplem1  31752  dirkertrigeqlem2  31881  fourierdlem42  31931  fourierdlem83  31972  sqwvfoura  32011  fouriersw  32014  elaa2lem  32016  etransclem15  32032  etransclem24  32041  etransclem35  32052  etransclem46  32063  sigarcol  32081  sharhght  32082  aacllem  33216  sineq0ALT  33737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654