Theorem mul02lem1 9777

Description: Lemma for mul02 9779. If any real does not produce when multiplied by , then any complex is equal to double itself. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul02lem1

Proof of Theorem mul02lem1

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9617	. . . . 5
2		remulcl 9598	. . . . 5
3	1, 2	mpan 670	. . . 4
4		ax-rrecex 9585	. . . 4
5	3, 4	sylan 471	. . 3
6	5	adantr 465	. 2
7		00id 9776	. . . . 5
8	7	oveq2i 6307	. . . 4
9	8	eqcomi 2470	. . 3
10		simprl 756	. . . . . . 7
11	10	recnd 9643	. . . . . 6
12		simplll 759	. . . . . . 7
13	12	recnd 9643	. . . . . 6
14	11, 13	mulcld 9637	. . . . 5
15		simplr 755	. . . . 5
16		0cn 9609	. . . . . 6
17		mul32 9768	. . . . . 6
18	16, 17	mp3an3 1313	. . . . 5
19	14, 15, 18	syl2anc 661	. . . 4
20		mul31 9769	. . . . . . . . 9
21	16, 20	mp3an3 1313	. . . . . . . 8
22	11, 13, 21	syl2anc 661	. . . . . . 7
23		simprr 757	. . . . . . 7
24	22, 23	eqtrd 2498	. . . . . 6
25	24	oveq1d 6311	. . . . 5
26		mulid2 9615	. . . . . 6
27	26	ad2antlr 726	. . . . 5
28	25, 27	eqtrd 2498	. . . 4
29	19, 28	eqtrd 2498	. . 3
30	14, 15	mulcld 9637	. . . . 5
31		adddi 9602	. . . . . 6
32	16, 16, 31	mp3an23 1316	. . . . 5
33	30, 32	syl 16	. . . 4
34	29, 29	oveq12d 6314	. . . 4
35	33, 34	eqtrd 2498	. . 3
36	9, 29, 35	3eqtr3a 2522	. 2
37	6, 36	rexlimddv 2953	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518

This theorem is referenced by:  mul02lem2  9778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654