MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02lem1 Unicode version

Theorem mul02lem1 9777
Description: Lemma for mul02 9779. If any real does not produce when multiplied by , then any complex is equal to double itself. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02lem1

Proof of Theorem mul02lem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9617 . . . . 5
2 remulcl 9598 . . . . 5
31, 2mpan 670 . . . 4
4 ax-rrecex 9585 . . . 4
53, 4sylan 471 . . 3
65adantr 465 . 2
7 00id 9776 . . . . 5
87oveq2i 6307 . . . 4
98eqcomi 2470 . . 3
10 simprl 756 . . . . . . 7
1110recnd 9643 . . . . . 6
12 simplll 759 . . . . . . 7
1312recnd 9643 . . . . . 6
1411, 13mulcld 9637 . . . . 5
15 simplr 755 . . . . 5
16 0cn 9609 . . . . . 6
17 mul32 9768 . . . . . 6
1816, 17mp3an3 1313 . . . . 5
1914, 15, 18syl2anc 661 . . . 4
20 mul31 9769 . . . . . . . . 9
2116, 20mp3an3 1313 . . . . . . . 8
2211, 13, 21syl2anc 661 . . . . . . 7
23 simprr 757 . . . . . . 7
2422, 23eqtrd 2498 . . . . . 6
2524oveq1d 6311 . . . . 5
26 mulid2 9615 . . . . . 6
2726ad2antlr 726 . . . . 5
2825, 27eqtrd 2498 . . . 4
2919, 28eqtrd 2498 . . 3
3014, 15mulcld 9637 . . . . 5
31 adddi 9602 . . . . . 6
3216, 16, 31mp3an23 1316 . . . . 5
3330, 32syl 16 . . . 4
3429, 29oveq12d 6314 . . . 4
3533, 34eqtrd 2498 . . 3
369, 29, 353eqtr3a 2522 . 2
376, 36rexlimddv 2953 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518
This theorem is referenced by:  mul02lem2  9778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654
  Copyright terms: Public domain W3C validator