Theorem mul4sq 14472

Description: Euler's four-square identity: The product of two sums of four squares is also a sum of four squares. This is usually quoted as an explicit formula involving eight real variables; we save some time by working with complex numbers (gaussian integers) instead, so that we only have to work with four variables, and also hiding the actual formula for the product in the proof of mul4sqlem 14471. (For the curious, the explicit formula that is used is (||2||2)(||2||2)= ||2||2.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1

Assertion

Ref	Expression
mul4sq

Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,   S,

Proof of Theorem mul4sq

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . 3
2	1	4sqlem4 14470	. 2
3	1	4sqlem4 14470	. 2
4		reeanv 3025	. . 3
5		reeanv 3025	. . . . 5
6		simpll 753	. . . . . . . . . . . . 13
7		gzabssqcl 14459	. . . . . . . . . . . . 13
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
9		simprl 756	. . . . . . . . . . . . 13
10		gzabssqcl 14459	. . . . . . . . . . . . 13
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
12	8, 11	nn0addcld 10881	. . . . . . . . . . 11
13	12	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . 10
14	13	div1d 10337	. . . . . . . . 9
15		simplr 755	. . . . . . . . . . . . 13
16		gzabssqcl 14459	. . . . . . . . . . . . 13
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
18		simprr 757	. . . . . . . . . . . . 13
19		gzabssqcl 14459	. . . . . . . . . . . . 13
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
21	17, 20	nn0addcld 10881	. . . . . . . . . . 11
22	21	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . 10
23	22	div1d 10337	. . . . . . . . 9
24	14, 23	oveq12d 6314	. . . . . . . 8
25		eqid 2457	. . . . . . . . 9
26		eqid 2457	. . . . . . . . 9
27		1nn 10572	. . . . . . . . . 10
28	27	a1i 11	. . . . . . . . 9
29		gzsubcl 14458	. . . . . . . . . . . . 13
30	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
31		gzcn 14450	. . . . . . . . . . . 12
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . 11
33	32	div1d 10337	. . . . . . . . . 10
34	33, 30	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9
35		gzsubcl 14458	. . . . . . . . . . . . 13
36	35	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
37		gzcn 14450	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . 11
39	38	div1d 10337	. . . . . . . . . 10
40	39, 36	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9
41	14, 12	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9
42	1, 6, 9, 15, 18, 25, 26, 28, 34, 40, 41	mul4sqlem 14471	. . . . . . . 8
43	24, 42	eqeltrrd 2546	. . . . . . 7
44		oveq12 6305	. . . . . . . 8
45	44	eleq1d 2526	. . . . . . 7
46	43, 45	syl5ibrcom 222	. . . . . 6
47	46	rexlimdvva 2956	. . . . 5
48	5, 47	syl5bir 218	. . . 4
49	48	rexlimivv 2954	. . 3
50	4, 49	sylbir 213	. 2
51	2, 3, 50	syl2anb 479	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  cexp 12166  cabs 13067  cgz 14447

This theorem is referenced by:  4sqlem19  14481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-gz 14448