Theorem muladd 10014

Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
muladd

Proof of Theorem muladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 9595	. . 3
2		adddi 9602	. . . 4
3	2	3expb 1197	. . 3
4	1, 3	sylan 471	. 2
5		adddir 9608	. . . . 5
6	5	3expa 1196	. . . 4
7	6	adantrr 716	. . 3
8		adddir 9608	. . . . 5
9	8	3expa 1196	. . . 4
10	9	adantrl 715	. . 3
11	7, 10	oveq12d 6314	. 2
12		mulcl 9597	. . . . 5
13	12	ad2ant2r 746	. . . 4
14		mulcl 9597	. . . . 5
15	14	ad2ant2lr 747	. . . 4
16		mulcl 9597	. . . . . . 7
17		mulcl 9597	. . . . . . 7
18		addcl 9595	. . . . . . 7
19	16, 17, 18	syl2an 477	. . . . . 6
20	19	anandirs 831	. . . . 5
21	20	adantrl 715	. . . 4
22	13, 15, 21	add32d 9825	. . 3
23		mulcom 9599	. . . . . . 7
24	23	ad2ant2l 745	. . . . . 6
25	24	oveq2d 6312	. . . . 5
26	16	ad2ant2rl 748	. . . . . 6
27	17	ad2ant2l 745	. . . . . 6
28	13, 26, 27	addassd 9639	. . . . 5
29		mulcl 9597	. . . . . . . 8
30	29	ancoms 453	. . . . . . 7
31	30	ad2ant2l 745	. . . . . 6
32	13, 26, 31	add32d 9825	. . . . 5
33	25, 28, 32	3eqtr3d 2506	. . . 4
34		mulcom 9599	. . . . 5
35	34	ad2ant2lr 747	. . . 4
36	33, 35	oveq12d 6314	. . 3
37		addcl 9595	. . . . . 6
38	12, 30, 37	syl2an 477	. . . . 5
39	38	an4s 826	. . . 4
40		mulcl 9597	. . . . . 6
41	40	ancoms 453	. . . . 5
42	41	ad2ant2lr 747	. . . 4
43	39, 26, 42	addassd 9639	. . 3
44	22, 36, 43	3eqtrd 2502	. 2
45	4, 11, 44	3eqtrd 2502	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  caddc 9516  cmul 9518

This theorem is referenced by:  mulsub  10024  muladdi  10032  muladdd  10039  sqabsadd  13115  demoivreALT  13936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654