MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muladd Unicode version

Theorem muladd 9862
Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
muladd

Proof of Theorem muladd
StepHypRef Expression
1 addcl 9449 . . 3
2 adddi 9456 . . . 4
323expb 1189 . . 3
41, 3sylan 471 . 2
5 adddir 9462 . . . . 5
653expa 1188 . . . 4
76adantrr 716 . . 3
8 adddir 9462 . . . . 5
983expa 1188 . . . 4
109adantrl 715 . . 3
117, 10oveq12d 6192 . 2
12 mulcl 9451 . . . . 5
1312ad2ant2r 746 . . . 4
14 mulcl 9451 . . . . 5
1514ad2ant2lr 747 . . . 4
16 mulcl 9451 . . . . . . 7
17 mulcl 9451 . . . . . . 7
18 addcl 9449 . . . . . . 7
1916, 17, 18syl2an 477 . . . . . 6
2019anandirs 827 . . . . 5
2120adantrl 715 . . . 4
2213, 15, 21add32d 9677 . . 3
23 mulcom 9453 . . . . . . 7
2423ad2ant2l 745 . . . . . 6
2524oveq2d 6190 . . . . 5
2616ad2ant2rl 748 . . . . . 6
2717ad2ant2l 745 . . . . . 6
2813, 26, 27addassd 9493 . . . . 5
29 mulcl 9451 . . . . . . . 8
3029ancoms 453 . . . . . . 7
3130ad2ant2l 745 . . . . . 6
3213, 26, 31add32d 9677 . . . . 5
3325, 28, 323eqtr3d 2498 . . . 4
34 mulcom 9453 . . . . 5
3534ad2ant2lr 747 . . . 4
3633, 35oveq12d 6192 . . 3
37 addcl 9449 . . . . . 6
3812, 30, 37syl2an 477 . . . . 5
3938an4s 822 . . . 4
40 mulcl 9451 . . . . . 6
4140ancoms 453 . . . . 5
4241ad2ant2lr 747 . . . 4
4339, 26, 42addassd 9493 . . 3
4422, 36, 433eqtrd 2494 . 2
454, 11, 443eqtrd 2494 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757  (class class class)co 6174   cc 9365   caddc 9370   cmul 9372
This theorem is referenced by:  mulsub  9872  muladdi  9880  muladdd  9887  sqabsadd  12857  demoivreALT  13571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456  ax-resscn 9424  ax-1cn 9425  ax-icn 9426  ax-addcl 9427  ax-addrcl 9428  ax-mulcl 9429  ax-mulrcl 9430  ax-mulcom 9431  ax-addass 9432  ax-mulass 9433  ax-distr 9434  ax-i2m1 9435  ax-1ne0 9436  ax-1rid 9437  ax-rnegex 9438  ax-rrecex 9439  ax-cnre 9440  ax-pre-lttri 9441  ax-pre-lttrn 9442  ax-pre-ltadd 9443
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4174  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-ov 6177  df-er 7185  df-en 7395  df-dom 7396  df-sdom 7397  df-pnf 9505  df-mnf 9506  df-ltxr 9508
  Copyright terms: Public domain W3C validator