MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulassnq Unicode version

Theorem mulassnq 9358
Description: Multiplication of positive fractions is associative. (Contributed by NM, 1-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulassnq

Proof of Theorem mulassnq
StepHypRef Expression
1 mulasspi 9296 . . . . . . 7
2 mulasspi 9296 . . . . . . 7
31, 2opeq12i 4222 . . . . . 6
4 elpqn 9324 . . . . . . . . . 10
543ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
6 elpqn 9324 . . . . . . . . . 10
763ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9
8 mulpipq2 9338 . . . . . . . . 9
95, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . . 8
10 relxp 5115 . . . . . . . . 9
11 elpqn 9324 . . . . . . . . . 10
12113ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9
13 1st2nd 6846 . . . . . . . . 9
1410, 12, 13sylancr 663 . . . . . . . 8
159, 14oveq12d 6314 . . . . . . 7
16 xp1st 6830 . . . . . . . . . 10
175, 16syl 16 . . . . . . . . 9
18 xp1st 6830 . . . . . . . . . 10
197, 18syl 16 . . . . . . . . 9
20 mulclpi 9292 . . . . . . . . 9
2117, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . 8
22 xp2nd 6831 . . . . . . . . . 10
235, 22syl 16 . . . . . . . . 9
24 xp2nd 6831 . . . . . . . . . 10
257, 24syl 16 . . . . . . . . 9
26 mulclpi 9292 . . . . . . . . 9
2723, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . 8
28 xp1st 6830 . . . . . . . . 9
2912, 28syl 16 . . . . . . . 8
30 xp2nd 6831 . . . . . . . . 9
3112, 30syl 16 . . . . . . . 8
32 mulpipq 9339 . . . . . . . 8
3321, 27, 29, 31, 32syl22anc 1229 . . . . . . 7
3415, 33eqtrd 2498 . . . . . 6
35 1st2nd 6846 . . . . . . . . 9
3610, 5, 35sylancr 663 . . . . . . . 8
37 mulpipq2 9338 . . . . . . . . 9
387, 12, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8
3936, 38oveq12d 6314 . . . . . . 7
40 mulclpi 9292 . . . . . . . . 9
4119, 29, 40syl2anc 661 . . . . . . . 8
42 mulclpi 9292 . . . . . . . . 9
4325, 31, 42syl2anc 661 . . . . . . . 8
44 mulpipq 9339 . . . . . . . 8
4517, 23, 41, 43, 44syl22anc 1229 . . . . . . 7
4639, 45eqtrd 2498 . . . . . 6
473, 34, 463eqtr4a 2524 . . . . 5
4847fveq2d 5875 . . . 4
49 mulerpq 9356 . . . 4
50 mulerpq 9356 . . . 4
5148, 49, 503eqtr4g 2523 . . 3
52 mulpqnq 9340 . . . . 5
53523adant3 1016 . . . 4
54 nqerid 9332 . . . . . 6
5554eqcomd 2465 . . . . 5
56553ad2ant3 1019 . . . 4
5753, 56oveq12d 6314 . . 3
58 nqerid 9332 . . . . . 6
5958eqcomd 2465 . . . . 5
60593ad2ant1 1017 . . . 4
61 mulpqnq 9340 . . . . 5
62613adant1 1014 . . . 4
6360, 62oveq12d 6314 . . 3
6451, 57, 633eqtr4d 2508 . 2
65 mulnqf 9348 . . . 4
6665fdmi 5741 . . 3
67 0nnq 9323 . . 3
6866, 67ndmovass 6463 . 2
6964, 68pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035  X.cxp 5002  Relwrel 5009  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cnpi 9243   cmi 9245   cmpq 9248   cnq 9251   cerq 9253   cmq 9255
This theorem is referenced by:  recmulnq  9363  halfnq  9375  ltrnq  9378  addclprlem2  9416  mulclprlem  9418  mulasspr  9423  1idpr  9428  prlem934  9432  prlem936  9446  reclem3pr  9448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-mpq 9308  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-mq 9314  df-1nq 9315
  Copyright terms: Public domain W3C validator