Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcanenq Unicode version

Theorem mulcanenq 9359
 Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq

Proof of Theorem mulcanenq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . 7
21opeq1d 4223 . . . . . 6
3 opeq1 4217 . . . . . 6
42, 3breq12d 4465 . . . . 5
54imbi2d 316 . . . 4
6 oveq2 6304 . . . . . . 7
76opeq2d 4224 . . . . . 6
8 opeq2 4218 . . . . . 6
97, 8breq12d 4465 . . . . 5
109imbi2d 316 . . . 4
11 mulcompi 9295 . . . . . . . . 9
1211oveq2i 6307 . . . . . . . 8
13 mulasspi 9296 . . . . . . . 8
14 mulasspi 9296 . . . . . . . 8
1512, 13, 143eqtr4i 2496 . . . . . . 7
16 mulclpi 9292 . . . . . . . . 9
17163adant3 1016 . . . . . . . 8
18 mulclpi 9292 . . . . . . . . 9
19183adant2 1015 . . . . . . . 8
20 3simpc 995 . . . . . . . 8
21 enqbreq 9318 . . . . . . . 8
2217, 19, 20, 21syl21anc 1227 . . . . . . 7
2315, 22mpbiri 233 . . . . . 6
24233expb 1197 . . . . 5
2524expcom 435 . . . 4
265, 10, 25vtocl2ga 3175 . . 3
2726impcom 430 . 2
28273impb 1192 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cnpi 9243   cmi 9245   ceq 9250 This theorem is referenced by:  distrnq  9360  1nqenq  9361  ltexnq  9374 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-ni 9271  df-mi 9273  df-enq 9310
 Copyright terms: Public domain W3C validator