Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcanpi Unicode version

Theorem mulcanpi 9299
 Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by NM, 4-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcanpi

Proof of Theorem mulcanpi
StepHypRef Expression
1 mulclpi 9292 . . . . . . . . . 10
2 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
31, 2syl5ib 219 . . . . . . . . 9
43imp 429 . . . . . . . 8
5 dmmulpi 9290 . . . . . . . . 9
6 0npi 9281 . . . . . . . . 9
75, 6ndmovrcl 6461 . . . . . . . 8
8 simpr 461 . . . . . . . 8
94, 7, 83syl 20 . . . . . . 7
10 mulpiord 9284 . . . . . . . . . 10
1110adantr 465 . . . . . . . . 9
12 mulpiord 9284 . . . . . . . . . 10
1312adantlr 714 . . . . . . . . 9
1411, 13eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
15 pinn 9277 . . . . . . . . . . . . 13
16 pinn 9277 . . . . . . . . . . . . 13
17 pinn 9277 . . . . . . . . . . . . 13
18 elni2 9276 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 nnmcan 7302 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15
2219, 21sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
2322ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
2415, 16, 17, 23syl3an 1270 . . . . . . . . . . . 12
25243exp 1195 . . . . . . . . . . 11
2625com4r 86 . . . . . . . . . 10
2726pm2.43i 47 . . . . . . . . 9
2827imp31 432 . . . . . . . 8
2914, 28sylbid 215 . . . . . . 7
309, 29sylan2 474 . . . . . 6
3130exp32 605 . . . . 5
3231imp4b 590 . . . 4
3332pm2.43i 47 . . 3
3433ex 434 . 2
35 oveq2 6304 . 2
3634, 35impbid1 203 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   c0 3784  (class class class)co 6296   com 6700   comu 7147   cnpi 9243   cmi 9245 This theorem is referenced by:  enqer  9320  nqereu  9328  adderpqlem  9353  mulerpqlem  9354 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-ni 9271  df-mi 9273
 Copyright terms: Public domain W3C validator