MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpi Unicode version

Theorem mulclpi 9292
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 9284 . 2
2 pinn 9277 . . . 4
3 pinn 9277 . . . 4
4 nnmcl 7280 . . . 4
52, 3, 4syl2an 477 . . 3
6 elni2 9276 . . . . . . 7
76simprbi 464 . . . . . 6
87adantl 466 . . . . 5
93adantl 466 . . . . . 6
102adantr 465 . . . . . 6
11 elni2 9276 . . . . . . . 8
1211simprbi 464 . . . . . . 7
1312adantr 465 . . . . . 6
14 nnmordi 7299 . . . . . 6
159, 10, 13, 14syl21anc 1227 . . . . 5
168, 15mpd 15 . . . 4
17 ne0i 3790 . . . 4
1816, 17syl 16 . . 3
19 elni 9275 . . 3
205, 18, 19sylanbrc 664 . 2
211, 20eqeltrd 2545 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  =/=wne 2652   c0 3784  (class class class)co 6296   com 6700   comu 7147   cnpi 9243   cmi 9245
This theorem is referenced by:  mulasspi  9296  distrpi  9297  mulcanpi  9299  ltmpi  9303  enqer  9320  addpqf  9343  mulpqf  9345  adderpqlem  9353  mulerpqlem  9354  addassnq  9357  mulassnq  9358  mulcanenq  9359  distrnq  9360  recmulnq  9363  ltsonq  9368  lterpq  9369  ltanq  9370  ltmnq  9371  ltexnq  9374  archnq  9379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-ni 9271  df-mi 9273
  Copyright terms: Public domain W3C validator