Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclprlem Unicode version

Theorem mulclprlem 9418
 Description: Lemma to prove downward closure in positive real multiplication. Part of proof of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclprlem
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,

Proof of Theorem mulclprlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnq 9390 . . . . . 6
2 elprnq 9390 . . . . . 6
3 recclnq 9365 . . . . . . . . 9
43adantl 466 . . . . . . . 8
5 vex 3112 . . . . . . . . 9
6 ovex 6324 . . . . . . . . 9
7 ltmnq 9371 . . . . . . . . 9
8 fvex 5881 . . . . . . . . 9
9 mulcomnq 9352 . . . . . . . . 9
105, 6, 7, 8, 9caovord2 6487 . . . . . . . 8
114, 10syl 16 . . . . . . 7
12 mulassnq 9358 . . . . . . . . . 10
13 recidnq 9364 . . . . . . . . . . 11
1413oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
1512, 14syl5eq 2510 . . . . . . . . 9
16 mulidnq 9362 . . . . . . . . 9
1715, 16sylan9eqr 2520 . . . . . . . 8
1817breq2d 4464 . . . . . . 7
1911, 18bitrd 253 . . . . . 6
201, 2, 19syl2an 477 . . . . 5
21 prcdnq 9392 . . . . . 6
2221adantr 465 . . . . 5
2320, 22sylbid 215 . . . 4
24 df-mp 9383 . . . . . . . . 9
25 mulclnq 9346 . . . . . . . . 9
2624, 25genpprecl 9400 . . . . . . . 8
2726exp4b 607 . . . . . . 7
2827com34 83 . . . . . 6
2928imp32 433 . . . . 5
3029adantlr 714 . . . 4
3123, 30syld 44 . . 3
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cnq 9251   c1q 9252   cmq 9255   crq 9256   cltq 9257   cnp 9258   cmp 9261 This theorem is referenced by:  mulclpr  9419 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-mp 9383