Theorem mulclprlem 9418

Description: Lemma to prove downward closure in positive real multiplication. Part of proof of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulclprlem

Distinct variable groups:   ,,   ,   ,

Proof of Theorem mulclprlem

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 9390	. . . . . 6
2		elprnq 9390	. . . . . 6
3		recclnq 9365	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 466	. . . . . . . 8
5		vex 3112	. . . . . . . . 9
6		ovex 6324	. . . . . . . . 9
7		ltmnq 9371	. . . . . . . . 9
8		fvex 5881	. . . . . . . . 9
9		mulcomnq 9352	. . . . . . . . 9
10	5, 6, 7, 8, 9	caovord2 6487	. . . . . . . 8
11	4, 10	syl 16	. . . . . . 7
12		mulassnq 9358	. . . . . . . . . 10
13		recidnq 9364	. . . . . . . . . . 11
14	13	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10
15	12, 14	syl5eq 2510	. . . . . . . . 9
16		mulidnq 9362	. . . . . . . . 9
17	15, 16	sylan9eqr 2520	. . . . . . . 8
18	17	breq2d 4464	. . . . . . 7
19	11, 18	bitrd 253	. . . . . 6
20	1, 2, 19	syl2an 477	. . . . 5
21		prcdnq 9392	. . . . . 6
22	21	adantr 465	. . . . 5
23	20, 22	sylbid 215	. . . 4
24		df-mp 9383	. . . . . . . . 9
25		mulclnq 9346	. . . . . . . . 9
26	24, 25	genpprecl 9400	. . . . . . . 8
27	26	exp4b 607	. . . . . . 7
28	27	com34 83	. . . . . 6
29	28	imp32 433	. . . . 5
30	29	adantlr 714	. . . 4
31	23, 30	syld 44	. . 3
32	31	adantr 465	. 2
33	2	adantl 466	. . 3
34		mulassnq 9358	. . . . . 6
35		mulcomnq 9352	. . . . . . . 8
36	35, 13	syl5eq 2510	. . . . . . 7
37	36	oveq2d 6312	. . . . . 6
38	34, 37	syl5eq 2510	. . . . 5
39		mulidnq 9362	. . . . 5
40	38, 39	sylan9eq 2518	. . . 4
41	40	eleq1d 2526	. . 3
42	33, 41	sylan 471	. 2
43	32, 42	sylibd 214	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cnq 9251  c1q 9252  cmq 9255  crq 9256  cltq 9257  cnp 9258  cmp 9261

This theorem is referenced by:  mulclpr  9419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-mp 9383